ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം

ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് അനന്തതയിലേക്ക് സംയോജിപ്പിച്ച് ഒരു സമയ ഡൊമെയ്ൻ പ്രവർത്തനത്തെ എസ്-ഡൊമെയ്ൻ പ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു

 ടൈം ഡൊമെയ്ൻ ഫംഗ്ഷന്റെ, e -st കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ .

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്കും ഇന്റഗ്രലുകൾക്കും വേഗത്തിൽ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ടൈം ഡൊമെയ്‌നിലെ വ്യുൽപ്പന്നം s- ഡൊമെയ്‌നിലെ s കൊണ്ട് ഗുണനത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു.

ടൈം ഡൊമെയ്‌നിലെ സംയോജനം s- ഡൊമെയ്‌നിലെ s കൊണ്ട് ഹരണങ്ങളായി പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു.

ലാപ്ലേസ് ട്രാൻസ്ഫോർം ഫംഗ്ഷൻ

L }} ഓപ്പറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു :

F (കൾ) = \ mathcal {L} \ ഇടത് \ {f (t) \ വലത് \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

വിപരീത ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം

വിപരീത ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം നേരിട്ട് കണക്കാക്കാം.

സാധാരണയായി വിപരീത പരിവർത്തനം പരിവർത്തന പട്ടികയിൽ നിന്ന് നൽകുന്നു.

ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തന പട്ടിക

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പേര് സമയ ഡൊമെയ്ൻ പ്രവർത്തനം ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം

f ( ടി )

F ( കൾ ) = L { f ( t )}

നിരന്തരമായ 1 \ frac {1} {s}
ലീനിയർ t \ frac {1} {s ^ 2}
പവർ

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

പവർ

t a

Γ ( ഒരു +1 ചെയ്യുക) ⋅ ന്റെ - ( ഒരു +1 ചെയ്യുക)

എക്‌സ്‌പോണന്റ്

e at

\ frac {1} {sa}

സൈൻ

പാപം ചെയ്തത്

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

കോസിൻ

cos at

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

ഹൈപ്പർബോളിക് സൈൻ

at sinh

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

ഹൈപ്പർബോളിക് കോസൈൻ

at cosh

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

വളരുന്ന സൈൻ

ടി പാപം ചെയ്തത്

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

വളരുന്ന കോസൈൻ

ടി കോസ് ചെയ്തത്

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

ക്ഷയിക്കുന്നു

e -at sin ωt

\ frac {\ ഒമേഗ} {\ ഇടത് (s + a \ വലത്) ^ 2 + \ ഒമേഗ ^ 2}

അഴുകുന്ന കോസൈൻ

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ ഇടത് (s + a \ വലത്) ^ 2 + \ ഒമേഗ ^ 2}

ഡെൽറ്റ പ്രവർത്തനം

T ( ടി )

1

ഡെൽറ്റ വൈകി

δ ( ടാ )

e -as

ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തന സവിശേഷതകൾ

സ്വത്തിന്റെ പേര് സമയ ഡൊമെയ്ൻ പ്രവർത്തനം ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം അഭിപ്രായം
 

f ( ടി )

എഫ് ( കൾ )

 
ലീനിയറിറ്റി af ( t ) + bg ( t ) aF ( കൾ ) + ബിജി ( കൾ ) a , b സ്ഥിരമാണ്
സ്കെയിൽ മാറ്റം f ( at ) \ frac {1} {a} F \ ഇടത് (\ frac {s} {a} \ വലത്) a / 0
ഷിഫ്റ്റ് e -at f ( t ) F ( s + a )  
കാലതാമസം f ( ta ) - പോലെ എഫ് ( ങ്ങൾ )  
വ്യുൽപ്പന്നം \ frac {df (t)} {dt} sF ( കൾ ) - f (0)  
N-th ഡെറിവേഷൻ \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( കൾ ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
പവർ t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (കൾ)} {ds ^ n}  
സംയോജനം \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (കൾ)  
പരസ്പരവിരുദ്ധം \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
പരിവർത്തനം f ( t ) * g ( t ) F ( കൾ ) ⋅ G ( കൾ ) * ആണ് കൺ‌വോൾഷൻ ഓപ്പറേറ്റർ
ആനുകാലിക പ്രവർത്തനം f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തന ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം # 1

F (t) ന്റെ പരിവർത്തനം കണ്ടെത്തുക:

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

പരിഹാരം:

ℒ { t } = 1 / സെ 2

ℒ { t 2 } = 2 / സെ 3

F ( കൾ ) = ℒ { f ( t )} = ℒ t 3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

ഉദാഹരണം # 2

എഫ് (കൾ) ന്റെ വിപരീത പരിവർത്തനം കണ്ടെത്തുക:

F ( കൾ ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

പരിഹാരം:

വിപരീത പരിവർത്തനം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഡൊമെയ്ൻ പ്രവർത്തനം ലളിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്:

F ( കൾ ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

A, b എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നമുക്ക് 2 സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു - s ന്റെ ഗുണകങ്ങളിൽ ഒന്ന്, ബാക്കിയുള്ളതിൽ രണ്ടാമത്തേത്:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, ബി = -3/5

F ( കൾ ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഫംഗ്ഷനായി ട്രാൻസ്‌ഫോർംസ് പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് ഇപ്പോൾ എഫ് (കൾ) എളുപ്പത്തിൽ പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


ഇതും കാണുക

കാൽക്കുലസ്
ദ്രുത പട്ടികകൾ