파생 규칙

파생 규칙 및 법률. 함수 테이블의 파생물.

파생적 정의

함수의 미분은 Δx가 무한히 작을 때 Δx가있는 지점 x + Δx 및 x에서 함수 값 f (x)의 차이의 비율입니다. 미분은 점 x에서 접선의 함수 기울기 또는 기울기입니다.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

2 차 미분

2 차 도함수는 다음과 같이 지정됩니다.

또는 단순히 1 차 도함수를 유도하십시오.

에프 ''(x) = (f '(x))'

N 차 도함수

N 번째 유도체 F (x)를 n 회를 도출함으로써 계산된다.

N 번째 유도체는 N-1 유도체의 유도체 동일 :

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

예:

4 차 도함수 찾기

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' ''= [10 x 4 ] '' '= [40 x 3 ]' '= [120 x 2 ]'= 240 x

함수 그래프 미분

함수의 미분은 접선의 기울기입니다.

파생 규칙

미분 합계 규칙

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

파생 상품 규칙

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

미분 몫 규칙 \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f'(x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( 엑스)}
파생 체인 규칙

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

미분 합계 규칙

ab 가 상수 일 때 .

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

예:

도함수 찾기 :

3 x 2 + 4 x.

합계 규칙에 따르면 :

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

파생 상품 규칙

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

미분 몫 규칙

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f'(x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( 엑스)}

파생 체인 규칙

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

이 규칙은 Lagrange의 표기법으로 더 잘 이해할 수 있습니다.

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

함수 선형 근사

작은 Δx의 경우 f (x 0 ) 및 f '(x 0 )을 알고있을 때 f (x 0 + Δx)에 대한 근사치를 얻을 수 있습니다 .

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

함수 표의 파생물

기능 명 함수 유도체

에프 ( x )

f '( x )
일정한

const

0

선의

x

1

x

도끼 a- 1

지수

e x

e x

지수

X

a x ln a

자연 로그

ln ( x )

로그

로그 b ( x )

사인

x

cos x

코사인

cos x

-죄 x

접선

황갈색 x

아크 사인

아크 신 x

아크 코사인

arccos x

아크 탄젠트

아크 탄 x

쌍곡 사인

sinh x

코시 x

쌍곡 코사인

코시 x

sinh x

쌍곡 탄젠트

tanh x

역 쌍곡 사인

sinh -1 x

역 쌍곡 코사인

코시 -1 x

역 쌍곡 탄젠트

tanh -1 x

파생 예제

예 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

예제 # 2

f ( x ) = sin (3 x 2 )

체인 규칙을 적용 할 때 :

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]'= cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

2 차 미분 테스트

함수의 1 차 도함수가 점 x 0 에서 0 일 때 .

f '( x 0 ) = 0

그런 다음 점 x 0 , f ''(x 0 ) 에서 2 차 도함수 는 해당 점의 유형을 나타낼 수 있습니다.

 

f ''( x 0 )/ 0

지역 최소

f ''( x 0 ) <0

지역 최대

f ''( x 0 ) = 0

분명치 않은

 


또한보십시오

계산법
빠른 테이블