라플라스 변환

라플라스 변환은 0에서 무한대로 통합하여 시간 도메인 함수를 s 도메인 함수로 변환합니다.

 시간 도메인 함수에 e -st를 곱합니다 .

Laplace 변환은 미분 방정식과 적분에 대한 해를 빠르게 찾는 데 사용됩니다.

시간 영역의 유도는 s 영역에서 s의 곱셈으로 변환됩니다.

시간 영역의 적분은 s 영역의 s로 나누기로 변환됩니다.

라플라스 변환 함수

Laplace 변환은 L {} 연산자로 정의됩니다 .

F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} f (t) dt

역 라플라스 변환

역 라플라스 변환은 직접 계산할 수 있습니다.

일반적으로 역변환은 변환 테이블에서 제공됩니다.

라플라스 변환 테이블

기능 명 시간 영역 기능 라플라스 변환

에프 ( t )

F ( ) = L { f ( t )}

일정한 1 \ frac {1} {s}
선의 t \ frac {1} {s ^ 2}

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

t a

Γ ( a +1) ⋅ s- ( a +1)

멱지수

e at

\ frac {1} {sa}

사인

짓다

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

코사인

COS 에서

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

쌍곡 사인

SINH 에서

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

쌍곡 코사인

곤봉 에서

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

증가하는 사인

t의에서

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

코사인 증가

t cos at

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

썩어가는 사인

전자 -at고주파 영역

\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

쇠퇴하는 코사인

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

델타 기능

δ ( t )

1

지연된 델타

δ ( ta )

e -as

라플라스 변환 속성

부동산 이름 시간 영역 기능 라플라스 변환 논평
 

에프 ( t )

F ( )

 
선형성 af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b 는 일정합니다.
규모 변경 f ( 에서 ) \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right) a / 0
시프트 e -at f ( t ) F ( s + a )  
지연 f ( ) 전자 - 같은 F ( S )  
유도 \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) -f (0)  
N 번째 유도 \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) -s n -1 f (0) -s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
완성 \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (s)  
역수 \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
회선 f ( t ) * g ( t ) F ( ) ⋅ G ( ) *는 컨볼 루션 연산자입니다.
주기적 기능 f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {-sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {-sx} f (x) dx  

라플라스 변환 예제

예 1

f (t)의 변환을 찾으십시오.

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

해결책:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

예제 # 2

F (s)의 역변환 구하기 :

F ( ) = 3 / ( 2 + -6)

해결책:

역변환을 찾으려면 s 도메인 함수를 더 간단한 형식으로 변경해야합니다.

F ( ) = 3 / ( 2 + -6) = 3 / [( -2) ( +3)] = a / ( -2) + b / ( +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

a와 b를 찾기 위해 두 개의 방정식을 얻습니다. 하나는 s 계수이고 나머지는 두 번째입니다.

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( ) = 3/5 ( -2) -3/5 ( +3)

이제 지수 함수에 대한 변환 테이블을 사용하여 F (s)를 쉽게 변환 할 수 있습니다.

f ( t ) = (3/5) e 2 t- (3/5) e -3 t

 


또한보십시오

계산법
빠른 테이블