Peraturan terbitan

Peraturan dan undang-undang derivatif. Jadual derivatif fungsi.

Definisi terbitan

Derivatif suatu fungsi adalah nisbah perbezaan nilai fungsi f (x) pada titik x + Δx dan x dengan Δx, ketika Δx kecil secara kecil. Derivatifnya adalah cerun fungsi atau cerun garis tangen pada titik x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Derivatif kedua

Derivatif kedua diberikan oleh:

Atau dapatkan derivatif pertama:

f '' (x) = (f '(x))'

Derivatif ke-9

The n terbitan th dikira dengan memperolehi f (x) n masa.

The n th derivatif adalah sama dengan terbitan (n-1) terbitan:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Contoh:

Cari terbitan keempat dari

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] "" = [10 x 4 ] "" = [40 x 3 ] "= [120 x 2 ]" = 240 x

Derivatif pada graf fungsi

Derivatif suatu fungsi adalah kemerosotan garis tangen.

Peraturan terbitan

Peraturan jumlah terbitan

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Peraturan produk terbitan

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Peraturan hasil terbitan \ kiri (\ frac {f (x)} {g (x)} \ kanan) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}
Peraturan rantai derivatif

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Peraturan jumlah terbitan

Apabila a dan b adalah pemalar.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Contoh:

Cari terbitan dari:

3 x 2 + 4 x.

Menurut peraturan jumlah:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Peraturan produk terbitan

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Peraturan hasil terbitan

\ kiri (\ frac {f (x)} {g (x)} \ kanan) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

Peraturan rantai derivatif

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Peraturan ini dapat difahami dengan lebih baik dengan notasi Lagrange:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Fungsi penghampiran linear

Untuk Δx kecil, kita dapat memperoleh perkiraan untuk f (x 0 + Δx), ketika kita mengetahui f (x 0 ) dan f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Jadual derivatif fungsi

Nama fungsi Fungsi Derivatif

f ( x )

f '( x )
Pemalar

penyambung

0

Linier

x

1

Kuasa

x a

kapak a- 1

Eksponensial

e x

e x

Eksponensial

sebuah x

a x ln a

Logaritma semula jadi

ln ( x )

Logaritma

log b ( x )

Benar

dosa x

cos x

Kosinus

cos x

-sin x

Tangen

tan x

Arcsine

arcsin x

Arccosine

arccos x

Arctangent

arctan x

Sinus hiperbolik

sinh x

cos x

Kosinus hiperbolik

cos x

sinh x

Tangen hiperbolik

tanh x

Sinus hiperbolik terbalik

sinh -1 x

Kosinus hiperbolik terbalik

cosh -1 x

Tangen hiperbolik terbalik

tanh -1 x

Contoh terbitan

Contoh # 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Contoh # 2

f ( x ) = sin (3 x 2 )

Semasa menggunakan peraturan rantai:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Ujian terbitan kedua

Apabila terbitan pertama fungsi adalah sifar pada titik x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Maka terbitan kedua pada titik x 0 , f '' (x 0 ), dapat menunjukkan jenis titik itu:

 

f '' ( x 0 )/ 0

minimum tempatan

f '' ( x 0 ) <0

maksimum tempatan

f '' ( x 0 ) = 0

tidak dapat ditentukan

 


Lihat juga

Kalkulus
JADUAL RAPID