Transformada de Laplace

La transformada de Laplace converteix una funció de domini temporal en funció de domini s mitjançant la integració de zero a infinit

de la funció de domini temporal, multiplicat per e ^-st .

La transformada de Laplace s’utilitza per trobar ràpidament solucions per a equacions diferencials i integrals.

La derivació en el domini temporal es transforma en multiplicació per s en el domini s.

La integració en el domini temporal es transforma en divisió per s en el domini s.

Funció de transformada de Laplace

La transformada de Laplace es defineix amb l' operador L {}:

$F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt$

La transformada inversa de Laplace es pot calcular directament.

Normalment, la transformada inversa es dóna a partir de la taula de transformades.

Nom de la funció	Funció de domini temporal	Transformada de Laplace
Nom de la funció	f ( t )	F ( s ) = L { f ( t )}
Constant	1	$\ frac {1} {s}$
Lineal	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
Potència	t ⁿ	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
Potència	t ^a	Γ ( a +1) ⋅ s ^{- ( a +1)}
Exponent	e ^at	$\ frac {1} {sa}$
Sinus	pecar a	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Cosinus	cos at	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Sinus hiperbòlic	sinh at	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
Cosinus hiperbòlic	cosh at	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
Sinus creixent	t sin at	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Cosinus en creixement	t cos at	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Sinus en descomposició	e ^-at sin ωt	$\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Cosinus en descomposició	e ^-at cos ωt	$\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Funció Delta	δ ( t )	1
Delta retardat	δ ( ta )	e ^-as

Nom de la propietat	Funció de domini temporal	Transformada de Laplace	Comenta
	f ( t )	V ( s )
Linealitat	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b són constants
Canvi d’escala	f ( a )	$\ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right)$	a / 0
Maj	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Retard	f ( ta )	e ^{- com} F ( s )
Derivació	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-e derivació	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Potència	t ⁿ f ( t )	$(-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}$
Integració	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} F (s)$
Recíproc	$\ frac {1} {t} f (t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
Convolució	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* és l'operador de convolució
Funció periòdica	f ( t ) = f ( t + T )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$