Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation konvertiert eine Zeitdomänenfunktion durch Integration von Null nach Unendlich in eine S-Domänenfunktion

 der Zeitbereichsfunktion, multipliziert mit e- st .

Die Laplace-Transformation wird verwendet, um schnell Lösungen für Differentialgleichungen und Integrale zu finden.

Die Ableitung im Zeitbereich wird in die Multiplikation mit s im s-Bereich umgewandelt.

Die Integration in die Zeitdomäne wird in eine Division durch s in der S-Domäne umgewandelt.

Laplace-Transformationsfunktion

Die Laplace-Transformation wird mit dem Operator L {} definiert :

F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Inverse Laplace-Transformation

Die inverse Laplace-Transformation kann direkt berechnet werden.

Normalerweise wird die inverse Transformation aus der Transformationstabelle angegeben.

Laplace-Transformationstabelle

Funktionsname Zeitbereichsfunktion Laplace-Transformation

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Konstante 1 \ frac {1} {s}
Linear t \ frac {1} {s ^ 2}
Leistung

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Leistung

t a

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)

Exponent

e at

\ frac {1} {sa}

Sinus

Sünde an

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Kosinus

cos bei

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Hyperbolischer Sinus

sinh bei

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Hyperbolischer Kosinus

cosh at

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Wachsender Sinus

t sündigen bei

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Wachsender Kosinus

t cos at

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Verfallender Sinus

e -at sin wt

\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Verfallender Kosinus

e -at cos wt

\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Delta-Funktion

δ ( t )

1

Verzögertes Delta

δ ( ta )

e -as

Laplace-Transformationseigenschaften

Name des Anwesens Zeitbereichsfunktion Laplace-Transformation Kommentar
 

f ( t )

F ( s )

 
Linearität af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b sind konstant
Skalenänderung f ( at ) \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right) a / 0
Verschiebung e- at f ( t ) F ( s + a )  
Verzögern f ( ta ) e - als F ( s )  
Ableitung \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
N-te Ableitung \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Leistung t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Integration \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (s)  
Gegenseitig \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Faltung f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * ist der Faltungsoperator
Periodische Funktion f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Beispiele für Laplace-Transformationen

Beispiel 1

Finden Sie die Transformation von f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Lösung:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

Beispiel 2

Finden Sie die inverse Transformation von F (s):

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Lösung:

Um die inverse Transformation zu finden, müssen wir die Domänenfunktion s in eine einfachere Form ändern:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s + 3)] = a / ( s - 2) + b / ( s + 3)

[ a ( s + 3) + b ( s - 2 )] / [( s - 2 ) ( s + 3)] = 3 / [( s - 2 ) ( s + 3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Um a und b zu finden, erhalten wir 2 Gleichungen - einen der s-Koeffizienten und den zweiten der übrigen:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Jetzt können F (s) einfach mithilfe der Transformationstabelle für die Exponentenfunktion transformiert werden:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


Siehe auch

INFINITESIMALRECHNUNG
SCHNELLE TABELLEN