טרנספורמציה Laplace

טרנספורמציה של Laplace ממירה פונקציה של תחום זמן לפונקציה של s-domain על ידי שילוב מאפס לאינסוף

 של פונקציית תחום הזמן, כפול e -st .

התמורה Laplace משמשת למציאת פתרונות במהירות למשוואות דיפרנציאליות ואינטגרלים.

נגזרת בתחום הזמן הופכת לכפל ב- s בתחום ה- s.

שילוב בתחום הזמן הופך לחלוקה על ידי s בתחום ה- s.

פונקצית שינוי Laplace

הטרנספורמציה של Laplace מוגדרת באמצעות האופרטור L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

הפוך Laplace טרנספורמציה

ניתן לחשב את טרנספורמציית Laplace ההפוכה ישירות.

בדרך כלל הטרנספורמציה ההפוכה ניתנת מטבלת הטרנספורמציות.

שולחן טרנספורמציה Laplace

שם פונקציה פונקציית תחום זמן Laplace טרנספורמציה

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

קָבוּעַ 1 \ frac {1} {s}
לינארי t \ frac {1} {s ^ 2}
כּוֹחַ

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

כּוֹחַ

t a

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)

מַעֲרִיך

ה ב

\ frac {1} {sa}

סינוס

לחטוא ב

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

קוסינוס

cos ב

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

סינוס היפרבולי

חטא ב

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

קוסינוס היפרבולי

קוסם ב

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

גידול סינוס

לא לחטוא ב

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

גידול קוסינוס

t cos at

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

ריקבון סינוס

דואר בטיילת חטא ωt

\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

קוסינוס מתפורר

דואר בטיילת cos ωt

\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

פונקציית דלתא

δ ( t )

1

דלתא מושהית

δ ( ta )

e -as

תכונות טרנספורמציה של Laplace

שם הנכס פונקציית תחום זמן Laplace טרנספורמציה תגובה
 

f ( t )

F ( ים )

 
לינאריות af ( t ) + bg ( t ) AF ( s ) + BG ( s ) a , b קבועים
שינוי קנה מידה f ( ב ) \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right) a / 0
מִשׁמֶרֶת e -at f ( t ) F ( s + a )  
לְעַכֵּב f ( ta ) e - כמו F ( s )  
גִזרָה \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
נגזרת N \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
כּוֹחַ t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
שילוב \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (ים)  
הֲדָדִי \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
קונבולוציה f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * הוא מפעיל הפיתול
תפקוד תקופתי f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

דוגמאות לשינוי Laplace

דוגמה מס '1

מצא את השינוי של f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

פִּתָרוֹן:

ℒ { t } = 1 לשנייה 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

דוגמה מס '2

מצא את הטרנספורמציה ההפוכה של F (ים):

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

פִּתָרוֹן:

על מנת למצוא את הטרנספורמציה ההפוכה, עלינו לשנות את פונקציית התחום s לצורה פשוטה יותר:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

כדי למצוא את a ו- b, נקבל 2 משוואות - אחד ממקדמי s והשני של השאר:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

כעת ניתן להפוך את F (ים) בקלות באמצעות טבלת הטרנספורמציות לפונקציה אקספוננטית:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


ראה גם

חֶשְׁבּוֹן
שולחנות מהירים