Laplaso transformacija

Laplaso transformacija laiko domeno funkciją paverčia s srities funkcija integruojant nuo nulio iki begalybės

 laiko domeno funkcijos, padaugintos iš e -st .

Laplaso transformacija naudojama norint greitai rasti diferencialinių lygčių ir integralų sprendimus.

Laiko domeno išvedimas paverčiamas dauginimu iš s s srityje.

Integracija laiko srityje transformuojama į dalijimą s s srityje.

Laplaso transformacijos funkcija

Laplaso transformacija apibrėžiama naudojant operatorių L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ kairė \ {f (t) \ dešinė \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Atvirkštinė Laplaso transformacija

Atvirkštinę Laplaso transformaciją galima apskaičiuoti tiesiogiai.

Paprastai atvirkštinė transformacija pateikiama iš transformacijų lentelės.

Laplaso transformacinė lentelė

Funkcijos pavadinimas Laiko domeno funkcija Laplaso transformacija

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Nuolatinis 1 \ frac {1} {s}
Linijinis t \ frac {1} {s ^ 2}
Galia

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Galia

t a

Γ ( 1) ⋅ S - ( 1)

Eksponentas

e ne

\ frac {1} {sa}

Sinusas

nuodėmė ne

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Kosinusas

cos ne

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Hiperbolinis sinusas

sinh at

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Hiperbolinis kosinusas

ch ne

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Augantis sinusas

T nuodėmė ne

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Augantis kosinusas

t cos at

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Gendantis sinusas

e -at sin ωt

\ frac {\ omega} {\ kairė (s + a \ dešinė) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Gendantis kosinusas

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ kairė (s + a \ dešinė) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Delta funkcija

δ ( t )

1

Delta delta

δ ( ta )

e -as

Laplaso transformacijos savybės

Nuosavybės pavadinimas Laiko domeno funkcija Laplaso transformacija Pakomentuokite
 

f ( t )

F ( s )

 
Linijiškumas af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b yra pastovūs
Mastelio keitimas f ( at ) \ frac {1} {a} F \ kairė (\ frac {s} {a} \ dešinė) a / 0
„Shift“ e -at f ( t ) F ( s + a )  
Delsimas f ( ta ) e - kaip F ( s )  
Išvedimas \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
N-tasis darinys \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Galia t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Integracija \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (s)  
Abipusis \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Konvoliucija f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * yra konvoliucijos operatorius
Periodinė funkcija f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Laplaso transformacijos pavyzdžiai

1 pavyzdys

Raskite f (t) transformaciją:

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Sprendimas:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

2 pavyzdys

Raskite atvirkštinę F (s) transformaciją:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Sprendimas:

Norėdami rasti atvirkštinę transformaciją, turime pakeisti s srities funkciją į paprastesnę formą:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Norėdami rasti a ir b, gausime 2 lygtis - vieną iš s koeficientų ir antrą iš likusių:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Dabar F (s) gali būti lengvai transformuojami, naudojant eksponento funkcijos transformacijų lentelę:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


Taip pat žiūrėkite

KALKULAS
GREITOS LENTELĖS