Atvasinātie noteikumi

Atvasinātie noteikumi un likumi. Funkciju atvasinājumi tabula.

Atvasinājuma definīcija

Funkcijas atvasinājums ir funkcijas f (x) starpības attiecība punktos x + Δx un x ar Δx, kad Δx ir bezgalīgi mazs. Atvasinājums ir pieskares līnijas funkcijas slīpums vai slīpums punktā x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Otrais atvasinājums

Otro atvasinājumu dod:

Vai vienkārši atvasiniet pirmo atvasinājumu:

f '' (x) = (f '(x))'

N atvasinājums

N th atvasinājums tiek aprēķināta pēc iespējas labāk f (x) n reizes.

The n th atvasinājumu ir vienāda ar atvasinājums no (n-1) atvasinājums:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Piemērs:

Atrodiet ceturto atvasinājumu no

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' = [40 x 3 ] '' = [120 x 2 ] '= 240 x

Atvasinājums uz funkcijas grafika

Funkcijas atvasinājums ir tangenciālās līnijas slīpums.

Atvasinātie noteikumi

Atvasinātās summas noteikums

( af ( x ) + bg ( x )) "= af" ( x ) + bg " ( x )

Atvasināta produkta noteikums

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Atvasinātā koeficienta noteikums \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}
Atvasināto ķēžu likums

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Atvasinātās summas noteikums

Kad a un b ir konstantes.

( af ( x ) + bg ( x )) "= af" ( x ) + bg " ( x )

Piemērs:

Atrodiet atvasinājumu no:

3 x 2 + 4 x.

Saskaņā ar summas likumu:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Atvasināta produkta noteikums

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Atvasinātā koeficienta noteikums

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

Atvasināto ķēžu likums

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Šo noteikumu labāk var saprast ar Lagranža apzīmējumu:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Funkciju lineārā aproksimācija

Mazam Δx mēs varam iegūt tuvinājumu f (x 0 + Δx), kad mēs zinām f (x 0 ) un f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Funkciju atvasinājumi tabula

Funkcijas nosaukums Funkcija Atvasinājums

f ( x )

f '( x )
Pastāvīgs

konst

0

Lineāra

x

1

Jauda

x a

cirvis a- 1

Eksponenciāls

e x

e x

Eksponenciāls

a x

a x ln a

Dabiskais logaritms

ln ( x )

Logaritms

log b ( x )

Sine

grēks x

cos x

Kosinuss

cos x

-sin x

Tangents

iedegums x

Arcsine

arcsin x

Arkosīns

arccos x

Arktangents

arctan x

Hiperboliska sinusa

sinh x

cosh x

Hiperboliskais kosinuss

cosh x

sinh x

Hiperboliska pieskare

tanh x

Apgrieztā hiperboliskā sinusa

sinh -1 x

Apgrieztais hiperboliskais kosinuss

cosh -1 x

Apgrieztais hiperboliskais tangenss

tanh -1 x

Atvasinājumu piemēri

1. piemērs

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

2. piemērs

f ( x ) = grēks (3 x 2 )

Piemērojot ķēdes kārtulu:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Otrais atvasinājumu tests

Kad funkcijas pirmais atvasinājums ir nulle punktā x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Tad otrais atvasinājums punktā x 0 , f '' (x 0 ), var norādīt šī punkta tipu:

 

f '' ( x 0 )/ 0

vietējais minimums

f '' ( x 0 ) <0

vietējais maksimums

f '' ( x 0 ) = 0

nenoteikts

 


Skatīt arī

KALKULS
ĀTRAS TABULAS