Atvasinātie noteikumi

Atvasinātie noteikumi un likumi. Funkciju atvasinājumi tabula.

Atvasinājuma definīcija
Atvasinātie noteikumi
Funkciju atvasinājumi tabula
Atvasinājumu piemēri

Atvasinājuma definīcija

Funkcijas atvasinājums ir funkcijas f (x) starpības attiecība punktos x + Δx un x ar Δx, kad Δx ir bezgalīgi mazs. Atvasinājums ir pieskares līnijas funkcijas slīpums vai slīpums punktā x.

$f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}$

Otrais atvasinājums

Otro atvasinājumu dod:

Vai vienkārši atvasiniet pirmo atvasinājumu:

N atvasinājums

N th atvasinājums tiek aprēķināta pēc iespējas labāk f (x) n reizes.

The n th atvasinājumu ir vienāda ar atvasinājums no (n-1) atvasinājums:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Piemērs:

Atrodiet ceturto atvasinājumu no

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' = [40 x ³ ] '' = [120 x ² ] '= 240 x

Atvasinājums uz funkcijas grafika

Funkcijas atvasinājums ir tangenciālās līnijas slīpums.

Atvasinātie noteikumi

Atvasinātās summas noteikums	( af ( x ) + bg ( x )) "= af" ( x ) + bg " ( x )
Atvasināta produkta noteikums	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Atvasinātā koeficienta noteikums	$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}$
Atvasināto ķēžu likums	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Atvasinātās summas noteikums

Kad a un b ir konstantes.

( af ( x ) + bg ( x )) "= af" ( x ) + bg " ( x )

Piemērs:

Atrodiet atvasinājumu no:

3 x ² + 4 x.

Saskaņā ar summas likumu:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Atvasināta produkta noteikums

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Atvasinātā koeficienta noteikums

$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}$

Atvasināto ķēžu likums

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Šo noteikumu labāk var saprast ar Lagranža apzīmējumu:

$\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}$

Funkciju lineārā aproksimācija

Mazam Δx mēs varam iegūt tuvinājumu f (x ₀ + Δx), kad mēs zinām f (x ₀ ) un f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Funkciju atvasinājumi tabula

Funkcijas nosaukums	Funkcija	Atvasinājums
Funkcijas nosaukums	f ( x )	f '( x )
Pastāvīgs	konst	0
Lineāra	x	1
Jauda	x ^a	cirvis ^a-¹
Eksponenciāls	e ^x	e ^x
Eksponenciāls	a ^x	a ^x ln a
Dabiskais logaritms	ln ( x )
Logaritms	log _b ( x )
Sine	grēks x	cos x
Kosinuss	cos x	-sin x
Tangents	iedegums x
Arcsine	arcsin x
Arkosīns	arccos x
Arktangents	arctan x
Hiperboliska sinusa	sinh x	cosh x
Hiperboliskais kosinuss	cosh x	sinh x
Hiperboliska pieskare	tanh x
Apgrieztā hiperboliskā sinusa	sinh ^-1 x
Apgrieztais hiperboliskais kosinuss	cosh ^-1 x
Apgrieztais hiperboliskais tangenss	tanh ^-1 x