Laplasa pārveidošana

Laplasa transformācija laika domēna funkciju pārveido par s-domēna funkciju, integrējot no nulles līdz bezgalībai

 laika domēna funkcijas, kas reizināta ar e -st .

Laplasa transformāciju izmanto, lai ātri atrastu risinājumus diferenciālvienādojumiem un integrāļiem.

Atvasinājums laika domēnā tiek pārveidots par reizinājumu ar s s domēnā.

Laika domēna integrācija tiek pārveidota par dalīšanu ar s domēnā s.

Laplasa transformācijas funkcija

Laplasa transformācija tiek definēta ar operatoru L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ pa kreisi \ {f (t) \ pa labi \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Apgrieztā Laplasa pārveidošana

Apgriezto Laplasa transformāciju var aprēķināt tieši.

Parasti apgrieztā transformācija tiek dota no transformāciju tabulas.

Laplasa transformācijas galds

Funkcijas nosaukums Laika domēna funkcija Laplasa transformācija

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Pastāvīgs 1 \ frac {1} {s}
Lineāra t \ frac {1} {s ^ 2}
Jauda

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Jauda

t a

Γ ( +1) ⋅ s - ( +1)

Eksponents

e plkst

\ frac {1} {sa}

Sine

grēks at

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Kosinuss

cos plkst

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Hiperboliska sinusa

sinh pie

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Hiperboliskais kosinuss

cosh plkst

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Aug sinusa

t grēks at

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Pieaugošais kosinuss

t cos plkst

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Pūstoša sinusa

e -at grēks ωt

\ frac {\ omega} {\ pa kreisi (s + a \ labais) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Pūstošs kosinuss

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ pa kreisi (s + a \ labais) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Delta funkcija

δ ( t )

1

Aizkavēta delta

δ ( ta )

e-

Laplasa transformācijas īpašības

Īpašuma nosaukums Laika domēna funkcija Laplasa transformācija Komentēt
 

f ( t )

F ( s )

 
Linearitāte af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b ir nemainīgi
Mēroga maiņa f ( pie ) \ frac {1} {a} F \ pa kreisi (\ frac {s} {a} \ pa labi) a / 0
Shift e -at f ( t ) F ( s + a )  
Kavēšanās f ( ta ) e - F ( s )  
Atvasinājums \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
N-tas atvasinājums \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Jauda t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Integrācija \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (s)  
Abpusējs \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Konversija f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * ir konvolūcijas operators
Periodiska funkcija f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Laplasa transformācijas piemēri

1. piemērs

Atrodiet f (t) pārveidojumu:

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Risinājums:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

2. piemērs

Atrodiet F (s) apgriezto transformāciju:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Risinājums:

Lai atrastu apgriezto transformāciju, mums s domēna funkcija jāmaina uz vienkāršāku formu:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Lai atrastu a un b, mēs iegūstam 2 vienādojumus - vienu no s koeficientiem un otro no pārējiem:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Tagad F (s) var viegli pārveidot, izmantojot eksponenta funkcijas pārveidojumu tabulu:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


Skatīt arī

KALKULS
ĀTRAS TABULAS