Regras derivadas

Regras e leis derivadas. Tabela de derivadas de funções.

Definição derivada

A derivada de uma função é a razão da diferença do valor da função f (x) nos pontos x + Δx e x com Δx, quando Δx é infinitesimalmente pequeno. A derivada é a inclinação da função ou inclinação da reta tangente no ponto x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ a 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Segunda derivada

A segunda derivada é dada por:

Ou simplesmente derive a primeira derivada:

f '' (x) = (f '(x))'

Derivada enésima

A n- ésima derivada é calculada derivando f (x) n vezes.

A n- ésima derivada é igual à derivada da (n-1) derivada:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Exemplo:

Encontre a quarta derivada de

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' '= [40 x 3 ]' '= [120 x 2 ]' = 240 x

Derivada no gráfico de função

A derivada de uma função é a inclinação da reta tangencial.

Regras derivadas

Regra de soma derivada

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Regra de produto derivado

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Regra do quociente derivado \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}
Regra de cadeia derivada

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Regra de soma derivada

Quando a e b são constantes.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Exemplo:

Encontre a derivada de:

3 x 2 + 4 x.

De acordo com a regra da soma:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Regra de produto derivado

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Regra do quociente derivado

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

Regra de cadeia derivada

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Esta regra pode ser melhor entendida com a notação de Lagrange:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Aproximação linear de função

Para Δx pequeno, podemos obter uma aproximação para f (x 0 + Δx), quando sabemos f (x 0 ) e f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Tabela de derivadas de funções

Nome da função Função Derivado

f ( x )

f '( x )
Constante

const

0

Linear

x

1

Poder

x a

machado a- 1

Exponencial

e x

e x

Exponencial

a x

a x ln a

Logaritmo natural

ln ( x )

Logaritmo

log b ( x )

Seno

sin x

cos x

Cosine

cos x

-sin x

Tangente

tan x

Arcsine

arcsin x

Arccosine

arccos x

Arctangent

arctan x

Seno hiperbólico

sinh x

cosh x

Cosseno hiperbólico

cosh x

sinh x

Tangente hiperbólica

tanh x

Seno hiperbólico inverso

sinh -1 x

Cosseno hiperbólico inverso

cosh -1 x

Tangente hiperbólica inversa

tanh -1 x

Exemplos derivados

Exemplo 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Exemplo # 2

f ( x ) = sin (3 x 2 )

Ao aplicar a regra da cadeia:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Teste de segunda derivada

Quando a primeira derivada de uma função é zero no ponto x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Então, a segunda derivada no ponto x 0 , f '' (x 0 ), pode indicar o tipo desse ponto:

 

f '' ( x 0 )/ 0

mínimo local

f '' ( x 0 ) <0

máximo local

f '' ( x 0 ) = 0

indeterminado

 


Veja também

CÁLCULO
TABELAS RÁPIDAS