Laplace Transform

A transformada de Laplace converte uma função de domínio de tempo em função de domínio s por integração de zero a infinito

da função de domínio do tempo, multiplicado por e ^-st .

A transformada de Laplace é usada para encontrar rapidamente soluções para equações diferenciais e integrais.

A derivação no domínio do tempo é transformada em multiplicação por s no domínio s.

A integração no domínio do tempo é transformada em divisão por s no domínio s.

Função de transformação de Laplace

A transformação de Laplace é definida com o operador L {}:

$F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt$

A transformada de Laplace inversa pode ser calculada diretamente.

Normalmente, a transformação inversa é fornecida na tabela de transformações.

Nome da função	Função de domínio do tempo	Transformada de Laplace
Nome da função	f ( t )	F ( s ) = L { f ( t )}
Constante	1	$\ frac {1} {s}$
Linear	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
Poder	t ⁿ	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
Poder	t ^a	Γ ( a +1) ⋅ s ^{- ( a +1)}
Expoente	e ^em	$\ frac {1} {sa}$
Seno	pecado em	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Cosine	porque em	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Seno hiperbólico	sinh em	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
Cosseno hiperbólico	cosh em	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
Seno crescente	t pecar em	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Cosseno crescente	t cos em	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Seno decadente	e ^-at sin ωt	$\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Cosseno decadente	e ^-at cos ωt	$\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Função delta	δ ( t )	1
Delta atrasado	δ ( ta )	e- ^como

Nome da propriedade	Função de domínio do tempo	Transformada de Laplace	Comente
	f ( t )	F ( s )
Linearidade	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b são constantes
Mudança de escala	f ( at )	$\ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right)$	a / 0
Mudança	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Demora	f ( ta )	e ^{- como} F ( s )
Derivação	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-ésima derivação	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Poder	t ⁿ f ( t )	$(-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}$
Integração	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} F (s)$
Recíproca	$\ frac {1} {t} f (t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
Convolução	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* é o operador de convolução
Função periódica	f ( t ) = f ( t + T )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$