Laplace Transform

A transformada de Laplace converte uma função de domínio de tempo em função de domínio s por integração de zero a infinito

 da função de domínio do tempo, multiplicado por e -st .

A transformada de Laplace é usada para encontrar rapidamente soluções para equações diferenciais e integrais.

A derivação no domínio do tempo é transformada em multiplicação por s no domínio s.

A integração no domínio do tempo é transformada em divisão por s no domínio s.

Função de transformação de Laplace

A transformação de Laplace é definida com o operador L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Transformada inversa de Laplace

A transformada de Laplace inversa pode ser calculada diretamente.

Normalmente, a transformação inversa é fornecida na tabela de transformações.

Mesa de transformação de Laplace

Nome da função Função de domínio do tempo Transformada de Laplace

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Constante 1 \ frac {1} {s}
Linear t \ frac {1} {s ^ 2}
Poder

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Poder

t a

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)

Expoente

e em

\ frac {1} {sa}

Seno

pecado em

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Cosine

porque em

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Seno hiperbólico

sinh em

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Cosseno hiperbólico

cosh em

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Seno crescente

t pecar em

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Cosseno crescente

t cos em

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Seno decadente

e -at sin ωt

\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Cosseno decadente

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Função delta

δ ( t )

1

Delta atrasado

δ ( ta )

e- como

Propriedades de transformação de Laplace

Nome da propriedade Função de domínio do tempo Transformada de Laplace Comente
 

f ( t )

F ( s )

 
Linearidade af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b são constantes
Mudança de escala f ( at ) \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right) a / 0
Mudança e -at f ( t ) F ( s + a )  
Demora f ( ta ) e - como F ( s )  
Derivação \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
N-ésima derivação \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Poder t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Integração \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (s)  
Recíproca \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Convolução f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * é o operador de convolução
Função periódica f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Exemplos de transformação de Laplace

Exemplo 1

Encontre a transformação de f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Solução:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

Exemplo # 2

Encontre a transformação inversa de F (s):

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Solução:

Para encontrar a transformação inversa, precisamos alterar a função do domínio s para uma forma mais simples:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Para encontrar a e b, obtemos 2 equações - um dos coeficientes s e o segundo do resto:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Agora F (s) podem ser transformados facilmente usando a tabela de transformações para a função expoente:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


Veja também

CÁLCULO
TABELAS RÁPIDAS