Izvedena pravila

Izvedena pravila in zakoni. Tabela derivatov funkcij.

Izvedena definicija

Izpeljanka funkcije je razmerje razlike vrednosti funkcije f (x) v točkah x + Δx in x z Δx, kadar je Δx neskončno majhna. Izpeljanka je naklon funkcije ali naklon tangente v točki x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ do 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Druga izpeljanka

Drugi izpeljan je podan z:

Ali preprosto izpeljati prvi izpeljanko:

f

N-ti odvod

N th derivat se meri z izpeljavo f (x) n-krat.

V n th derivat, ki je enak derivat s (n-1) derivata:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Primer:

Poiščite četrto izpeljanko iz

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] "" "= [10 x 4 ]" "= [40 x 3 ]" = = 120 x 2 ] '= 240 x

Izpeljanka na grafu funkcije

Izpeljanka funkcije je naklon tangencialne črte.

Izvedena pravila

Pravilo izpeljane vsote

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Pravilo o izvedenih izdelkih

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Izpeljano pravilo količnika \ levo (\ frac {f (x)} {g (x)} \ desno) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}
Pravilo izpeljane verige

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Pravilo izpeljane vsote

Ko sta a in b konstanti.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Primer:

Poiščite izpeljanko iz:

3 x 2 + 4 x.

V skladu s pravilom vsote:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Pravilo o izvedenih izdelkih

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Izpeljano pravilo količnika

\ levo (\ frac {f (x)} {g (x)} \ desno) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

Pravilo izpeljane verige

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

To pravilo lahko bolje razumemo z Lagrangeovim zapisom:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Funkcionalni linearni približek

Za majhne Δx lahko dobimo približek f (x 0 + Δx), če poznamo f (x 0 ) in f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Tabela derivatov funkcij

Ime funkcije Funkcija Izvedeni finančni instrumenti

f ( x )

 f '( x )
Stalno

const

0

Linearno

x

1

Moč

x a

sekira a- 1
Eksponentno

e x

e x
Eksponentno

a x

a x ln a
Naravni logaritem

ln ( x )

Logaritem

dnevnik b ( x )

Sinus

greh x

cos x
Cosine

cos x

-greh x
Tangenta

porjavelost x

Arcsine

arcsin x

Arccosine

arccos x

Arktangens

arctan x
Hiperbolični sinus

sinh x

cosh x
Hiperbolični kosinus

cosh x

sinh x
Hiperbolični tangens

tanh x

Inverzni hiperbolični sinus

sinh -1 x

Inverzni hiperbolični kosinus

cosh -1 x

Inverzni hiperbolični tangens

tanh -1 x

Izvedeni primeri

Primer # 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

2. primer

f ( x ) = greh (3 x 2 )

Pri uporabi pravila verige:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Drugi test izpeljank

Ko je prvi odvod funkcije nič v točki x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Potem lahko drugi odvod v točki x 0 , f "(x 0 ), označuje vrsto te točke:

 

f '' ( x 0 )/ 0

 lokalni minimum

f '' ( x 0 ) <0

 lokalni maksimum

f "( x 0 ) = 0

 nedoločeno

 

Poglej tudi

KALKUL
HITRE MIZE