Laplaceova preobrazba

Laplaceova transformacija pretvori funkcijo časovne domene v funkcijo s-domene z integracijo od nič do neskončnosti

 funkcije časovne domene, pomnoženo z e -st .

Laplaceova transformacija se uporablja za hitro iskanje rešitev za diferencialne enačbe in integrale.

Izpeljava v časovni domeni se v s-domeni pretvori v množenje s s.

Integracija v časovni domeni se spremeni v delitev s v s-domeni.

Laplasova funkcija pretvorbe

Laplasova transformacija je definirana z operatorjem L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ levo \ {f (t) \ desno \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Inverzna Laplasova transformacija

Inverzno Laplasovo transformacijo lahko izračunamo neposredno.

Običajno je inverzna transformacija podana iz tabele transformacij.

Tabela Laplaceove transformacije

Ime funkcije Funkcija časovne domene Laplasova transformacija

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Stalno 1 \ frac {1} {s}
Linearno t \ frac {1} {s ^ 2}
Moč

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Moč

t a

Γ ( 1) ⋅ y - ( 1)

Eksponent

e na

\ frac {1} {sa}

Sinus

greh pri

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Cosine

cos at

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Hiperbolični sinus

sinh at

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Hiperbolični kosinus

cosh pri

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Gojenje sinusa

t sin na

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Gojenje kosinusa

t cos at

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Razpadajoči sinus

e -at sin ωt

\ frac {\ omega} {\ levo (s + a \ desno) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Propadajoči kosinus

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ levo (s + a \ desno) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Delta funkcija

δ ( t )

1

Zakasnjena delta

δ ( ta )

e -as

Lastnosti Laplaceove transformacije

Ime lastnosti Funkcija časovne domene Laplasova transformacija Komentiraj
 

f ( t )

F ( s )

 
Linearnost af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b so konstantne
Sprememba lestvice f ( pri ) \ frac {1} {a} F \ levo (\ frac {s} {a} \ desno) a / 0
Shift e -at f ( t ) F ( s + a )  
Zamuda f ( ta ) e - kot F ( s )  
Izpeljava \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
N-ta izpeljava \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Moč t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Integracija \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} Ž (i)  
Vzajemno \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Konvolucija f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * je operater konvolucije
Periodična funkcija f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Primeri Laplaceove transformacije

Primer # 1

Poiščite pretvorbo f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Rešitev:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

2. primer

Poiščite obratno transformacijo F (s):

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Rešitev:

Da bi našli obratno transformacijo, moramo funkcijo domene s spremeniti v preprostejšo obliko:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Da najdemo a in b, dobimo 2 enačbi - eno od s koeficientov in drugo od preostalih:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Zdaj lahko F (s) enostavno pretvorite z uporabo tabele pretvorb za eksponentno funkcijo:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


Poglej tudi

KALKUL
HITRE MIZE