Laplace Transform

Laplace transform แปลงฟังก์ชันโดเมนเวลาเป็นฟังก์ชัน s-domain โดยการรวมจากศูนย์ถึงอินฟินิตี้

 การทำงานของโดเมนเวลาคูณด้วยอี -st

การแปลงลาปลาซใช้เพื่อค้นหาคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์อย่างรวดเร็ว

การหาที่มาในโดเมนเวลาจะถูกเปลี่ยนเป็นการคูณด้วย s ในโดเมน s

การรวมในโดเมนเวลาถูกเปลี่ยนเป็นการหารด้วย s ใน s-domain

ฟังก์ชั่นการแปลง Laplace

การแปลง Laplace ถูกกำหนดด้วยตัวดำเนินการL {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

การแปลง Laplace ผกผัน

สามารถคำนวณการแปลง Laplace ผกผันได้โดยตรง

โดยปกติการแปลงผกผันจะได้รับจากตารางการแปลง

โต๊ะแปลงร่าง Laplace

ชื่อฟังก์ชัน ฟังก์ชันโดเมนเวลา ลาปลาซแปลงร่าง

( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

คงที่ 1 \ frac {1} {s}
เชิงเส้น t \ frac {1} {s ^ 2}
อำนาจ

เสื้อn

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

อำนาจ

เสื้อ

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)

เลขชี้กำลัง

e ที่

\ frac {1} {sa}

ไซน์

บาปที่

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

โคไซน์

cos ที่

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

ไฮเพอร์โบลิกไซน์

บาปที่

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

ไฮเพอร์โบลิกโคไซน์

cosh ที่

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

ไซน์ที่กำลังเติบโต

tบาปที่

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

การปลูกโคไซน์

t cos ที่

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

ไซน์ที่สลายตัว

e- at sin ωt

\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

โคไซน์ที่สลายตัว

e- at cos ωt

\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

ฟังก์ชันเดลต้า

δ ( เสื้อ )

1

เดลต้าล่าช้า

δ ( TA )

e -as

คุณสมบัติการแปลง Laplace

ชื่อคุณสมบัติ ฟังก์ชันโดเมนเวลา ลาปลาซแปลงร่าง แสดงความคิดเห็น
 

( t )

F ( s )

 
ความเป็นเส้นตรง af ( เสื้อ ) + bg ( t ) AF ( s ) + BG ( s ) a , bเป็นค่าคงที่
การเปลี่ยนแปลงขนาด f ( ที่ ) \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right) a / 0
กะ e - ที่ f ( t ) F ( s + a )  
ล่าช้า f ( ตา ) e - เป็น F ( s )  
ที่มา \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - (0)  
อนุพันธ์ N-th \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
อำนาจ เสื้อn f ( เสื้อ ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
บูรณาการ \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (s)  
ซึ่งกันและกัน \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
การแปลง f ( เสื้อ ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * เป็นตัวดำเนินการ Convolution
ฟังก์ชันเป็นระยะ f ( เสื้อ ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

ตัวอย่างการแปลง Laplace

ตัวอย่าง # 1

ค้นหาการเปลี่ยนแปลงของ f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

วิธีการแก้:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

ตัวอย่าง # 2

ค้นหาการแปลงผกผันของ F:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

วิธีการแก้:

ในการค้นหาการแปลงผกผันเราจำเป็นต้องเปลี่ยนฟังก์ชัน s domain เป็นรูปแบบที่ง่ายกว่า:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

ในการหา a และ b เราจะได้ 2 สมการ - หนึ่งในสัมประสิทธิ์ s และที่สองของส่วนที่เหลือ:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

ตอนนี้ F สามารถเปลี่ยนได้อย่างง่ายดายโดยใช้ตารางการแปลงสำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

f ( t ) = (3/5) 2 t - (3/5) -3 t

 


ดูสิ่งนี้ด้วย

แคลคูลัส
ตารางอย่างรวดเร็ว