Mga panuntunang nagmula

Mga patakaran at batas na nagmula sa hango. Derivatives ng talahanayan ng pag-andar.

Kahulugan na hango

Ang hango ng isang pagpapaandar ay ang ratio ng pagkakaiba ng halaga ng pag-andar f (x) sa mga puntong x + Δx at x na may Δx, kapag ang Δx ay maliit na infinitesimally. Ang derivative ay ang function slope o slope ng tangent line sa point x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Pangalawang hango

Ang pangalawang derivative ay ibinibigay ng:

O kunin lamang ang unang hango:

f

Nth derivative

Ang n derivative ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagmula ng f (x) n beses.

Ang n derivative ay katumbas ng derivative ng (n-1) derivative:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Halimbawa:

Hanapin ang ika-apat na hango ng

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] "" "= [10 x 4 ]" "= [40 x 3 ]" = [120 x 2 ] '= 240 x

Hango sa grapiko ng pagpapaandar

Ang hango ng isang pag-andar ay ang slop ng tangential line.

Mga panuntunang nagmula

Panuntunan sa kabuuan ng hango

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Panuntunan ng produkto na nagmula

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Panuntunang nagmula sa hango \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ kanan) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}
Panuntunan sa derivative chain

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Panuntunan sa kabuuan ng hango

Kapag ang a at b ay pare-pareho.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Halimbawa:

Hanapin ang hinalang ng:

3 x 2 + 4 x.

Ayon sa panuntunan sa kabuuan:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Panuntunan ng produkto na nagmula

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Panuntunang nagmula sa hango

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ kanan) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

Panuntunan sa derivative chain

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Ang panuntunang ito ay maaaring mas maintindihan sa notasyon ni Lagrange:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Pag-andar sa linear na pag-andar

Para sa maliit na Δx, makakakuha tayo ng isang approximation sa f (x 0 + Δx), kapag alam natin f (x 0 ) at f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Derivatives ng talahanayan ng pag-andar

Pangalan ng pagpapaandar Pag-andar Hango

f ( x )

 f '( x )
Patuloy

Const

0

Linear

x

1

Lakas

x a

palakol a- 1
Exponential

e x

e x
Exponential

isang x

isang x ln a
Likas na logarithm

ln ( x )

Logarithm

mag-log b ( x )

Sine

kasalanan x

cos x
Cosine

cos x

-kakasalanan x
Tangent

tan x

Arcsine

arcsin x

Arccosine

mga arko x

Arctangent

arctan x
Hyperbolic sine

sinh x

cosh x
Hyperbolic cosine

cosh x

sinh x
Hyperbolic tangent

tanh x

Kabaligtaran na hyperbolic sine

sinh -1 x

Kabaligtaran hyperbolic cosine

cosh -1 x

Kabaligtaran na hyperbolic tangent

tanh -1 x

Mga halimbawa na nagmula

Halimbawa # 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Halimbawa # 2

f ( x ) = kasalanan (3 x 2 )

Kapag inilalapat ang panuntunan sa kadena:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Pangalawang derivative test

Kapag ang unang hango ng isang pagpapaandar ay zero sa puntong x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Pagkatapos ang pangalawang hango sa puntong x 0 , f "(x 0 ), ay maaaring ipahiwatig ang uri ng puntong iyon:

 

f "( x 0 )/ 0

 lokal na minimum

f "( x 0 ) <0

 lokal na maximum

f "( x 0 ) = 0

 hindi natukoy

 

Tingnan din

CALCULUS
RAPID TABLES