Quy tắc phái sinh

Các quy tắc và luật phái sinh. Đạo hàm của bảng hàm.

• Định nghĩa phái sinh
• Quy tắc phái sinh
• Đạo hàm của bảng hàm
• Ví dụ phái sinh

Định nghĩa phái sinh

Đạo hàm của một hàm là tỷ số giữa hiệu của giá trị hàm f (x) tại các điểm x + Δx và x với Δx, khi Δx nhỏ vô cùng. Đạo hàm là hệ số góc của hàm số hoặc hệ số góc của đường tiếp tuyến tại điểm x.

 

Dẫn xuất thứ hai

Đạo hàm thứ hai được cho bởi:

Hoặc đơn giản là lấy đạo hàm đầu tiên:

Đạo hàm thứ n

Đạo hàm thứ n được tính bằng cách lấy f (x) n lần.

Đạo hàm thứ n bằng đạo hàm của đạo hàm (n-1):

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Thí dụ:

Tìm đạo hàm thứ tư của

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

Đạo hàm trên đồ thị của hàm số

Đạo hàm của một hàm là độ dốc của đường tiếp tuyến.

Quy tắc phái sinh

Quy tắc tổng phái sinh	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Quy tắc sản phẩm phái sinh	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Quy tắc thương số phái sinh
Quy tắc chuỗi phái sinh	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Quy tắc tổng phái sinh

Khi a và b là hằng số.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Thí dụ:

Tìm đạo hàm của:

3 x ² + 4 x.

Theo quy tắc tổng:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Quy tắc sản phẩm phái sinh

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Quy tắc thương số phái sinh

Quy tắc chuỗi phái sinh

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Quy tắc này có thể được hiểu rõ hơn với ký hiệu Lagrange:

Hàm gần đúng tuyến tính

Đối với Δx nhỏ, chúng ta có thể nhận được một giá trị gần đúng với f (x ₀ + Δx), khi chúng ta biết f (x ₀ ) và f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Đạo hàm của bảng hàm

Tên chức năng	Chức năng	Phát sinh
	f ( x )	f '( x )
Không thay đổi	hăng sô	0
Tuyến tính	x	1
Quyền lực	x a	rìu a- 1
số mũ	e x	e x
số mũ	một x	a x ln a
Lôgarit tự nhiên	ln ( x )
Lôgarit	log b ( x )
Sin	tội lỗi x	cos x
Cô sin	cos x	-sin x
Tiếp tuyến	tan x
Arcsine	arcsin x
Arccosine	arccos x
Arctangent	arctan x
Sin hyperbol	sinh x	cosh x
Cosin hyperbolic	cosh x	sinh x
Tiếp tuyến hyperbol	tanh x
Sin hyperbol nghịch đảo	sinh -1 x
Cosin hyperbol nghịch đảo	cosh -1 x
Tiếp tuyến hyperbol nghịch đảo	tanh -1 x

Ví dụ phái sinh

Ví dụ 1

f ( x ) = x ³ +5 x ² + x +8

f ' ( x ) = 3 x ² + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x ² +10 x +1

Ví dụ số 2

f ( x ) = sin (3 x ² )

Khi áp dụng quy tắc chuỗi:

f ' ( x ) = cos (3 x ² ) ⋅ [3 x ² ]' = cos (3 x ² ) ⋅ 6 x

Kiểm tra đạo hàm thứ hai

Khi đạo hàm cấp một của hàm số bằng 0 tại điểm x ₀ .

f '( x ₀ ) = 0

Khi đó đạo hàm cấp hai tại điểm x ₀ , f '' (x ₀ ), có thể chỉ ra loại điểm đó:

 

f '' ( x 0 )/ 0	địa phương tối thiểu
f '' ( x 0 ) <0	tối đa địa phương
f '' ( x 0 ) = 0	không xác định

 

---

Xem thêm

• Giải tích
• Biến đổi Laplace ( ℒ  )
• Ký hiệu giải tích