导数规则
衍生规则和法律。函数的导数表。
导数定义
当Δx无限小时，函数的导数是点x +Δx和点x处函数值f（x）与Δx之差的比率。导数是函数斜率或点x处切线的斜率。
二阶导数
二阶导数由下式给出：
或者简单地导出一阶导数：
N阶导数
所述Ñ阶导数是由导出F（X）n倍来计算。
第n个导数等于（n-1）个导数的导数：
f （n）（x）= [ f （n -1）（x）]'
例：
找出的四阶导数
f（x）= 2 x 5
f （4）（x）= [2 x 5 ]''''= [10 x 4 ]'''= [40 x 3 ]''= [120 x 2 ]'= 240 x
功能图上的导数
函数的导数是切线的斜率。
导数规则
| 导数和规则 |
（af（x）+ bg（x））'= af'（x）+ bg'（x） |
| 衍生产品规则 |
（f（x）∙ g（x））'= f'（x）g（x）+ f（x）g'（x） |
| 导数商法则 |
 |
| 导数链规则 |
f（g（x））'= f'（g（x））∙ g'（x） |
导数和规则
当a和b为常数时。
（af（x）+ bg（x））'= af'（x）+ bg'（x）
例：
查找以下项的导数：
3 x 2 + 4 x。
根据总和规则：
a = 3，b = 4
f（x）= x 2，g（x）= x
f'（x）= 2 x ，g'（x）= 1
（3 X 2 + 4 X）” =3⋅2 X +4⋅1= 6 X + 4
衍生产品规则
（f（x）∙ g（x））'= f'（x）g（x）+ f（x）g'（x）
导数商法则
导数链规则
f（g（x））'= f'（g（x））∙ g'（x）
使用拉格朗日的符号可以更好地理解此规则：
函数线性逼近
对于小Δx，当我们知道f（x 0）和f'（x 0）时，我们可以获得f（x 0 +Δx）的近似值：
˚F（X 0 +Δ X）≈ ˚F（X 0）+ ˚F “（X 0）⋅Δ X
函数导数表
| 功能名称 | 功能 | 衍生物 |
|---|---|---|
|
f（x） |
f '（x） | |
| 不变 |
const |
0 |
| 线性的 |
x |
1 |
| 功率 |
X一 |
斧a- 1 |
| 指数的 |
Ë X |
Ë X |
| 指数的 |
一个X |
一个X LN一 |
| 自然对数 |
ln（x） |
|
| 对数 |
对数b（x） |
|
| 正弦波 |
罪恶x |
cos x |
| 余弦 |
cos x |
-罪x |
| 切线 |
谭X |
|
| 反正弦 |
阿克辛x |
|
| 反余弦 |
arccos x |
|
| 反正切 |
arctan x |
 |
| 双曲正弦 |
的sinh X |
cosh x |
| 双曲余弦 |
cosh x |
的sinh X |
| 双曲正切 |
tanh x |
|
| 反双曲正弦 |
正弦-1 x |
|
| 反双曲余弦 |
cosh -1 x |
|
| 反双曲正切 |
tanh -1 x |
|
衍生范例
例子1
f（x）= x 3 +5 x 2 + x +8
F' （X）= 3 X 2 +2⋅5 X + 1 + 0 = 3 X 2 10 X 1
范例＃2
f（x）= sin（3 x 2）
应用链式规则时：
f'（x）= cos（3 x 2）⋅[3 x 2 ]'= cos（3 x 2）⋅6 x
二阶导数测试
当函数的一阶导数在点x 0处为零时。
f '（x 0）= 0
然后，在点x 0处的二阶导数f''（x 0）可以指示该点的类型：
|
f ''（x 0）/ 0 |
局部最小值 |
|
f ''（x 0）<0 |
局部最大值 |
|
f ''（x 0）= 0 |
未定 |