القواعد المشتقة

القواعد والقوانين المشتقة. جدول مشتقات الدوال.

تعريف مشتق

مشتق الدالة هو نسبة الفرق في قيمة الدالة f (x) عند النقطتين x + Δx و x مع Δx ، عندما تكون Δx صغيرة جدًا. المشتق هو ميل الدالة أو ميل خط المماس عند النقطة x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

المشتق الثاني

يتم إعطاء المشتق الثاني بواسطة:

أو ببساطة اشتق المشتق الأول:

و '' (س) = (و '(س))'

مشتق ن

و ن يتم احتساب عشر مشتق عن طريق اشتقاق و (خ) ن مرات.

و ن ال غير المشتقة تساوي إلى مشتق من (ن 1) مشتق:

و ( ن ) ( س ) = [ و ( ن -1) ( س )] '

مثال:

أوجد المشتق الرابع ل

و ( س ) = 2 × 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '= [10 x 4 ]' '' = [40 x 3 ] '' = [120 x 2 ] '= 240 x

المشتق على الرسم البياني للدالة

مشتق الدالة هو ميل الخط المماسي.

القواعد المشتقة

قاعدة المجموع المشتق

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

قاعدة المنتج المشتق

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

قاعدة حاصل القسمة المشتقة \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}
قاعدة السلسلة المشتقة

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

قاعدة المجموع المشتق

عندما يكون a و b ثوابت.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

مثال:

أوجد مشتق من:

3 × 2 + 4 ×.

حسب قاعدة المجموع:

أ = 3 ، ب = 4

و ( س ) = س 2 ، ز ( س ) = س

و ' ( س ) = 2 س ، ز' ( س ) = 1

(3 × 2 + 4 س ) '= 3⋅2 س + 4⋅1 = 6 س + 4

قاعدة المنتج المشتق

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

قاعدة حاصل القسمة المشتقة

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

قاعدة السلسلة المشتقة

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

يمكن فهم هذه القاعدة بشكل أفضل باستخدام تدوين لاغرانج:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

التقريب الخطي للوظيفة

بالنسبة إلى Δx الصغير ، يمكننا الحصول على تقريب لـ f (x 0 + Δx) ، عندما نعرف f (x 0 ) و f '(x 0 ):

و ( س 0 + Δ س ) ≈ و ( س 0 ) + و '( س 0 ) ⋅Δ س

جدول مشتقات الدوال

اسم وظيفة وظيفة المشتق

و ( خ )

و ( س )
ثابت

مقدار ثابت

0

خطي

x

1

قوة

x أ

الفأس أ- 1

متسارع

ه س

ه س

متسارع

أ س

و س قانون الجنسية ل

اللوغاريتم الطبيعي

ln ( x )

لوغاريتم

سجل ب ( خ )

شرط

الخطيئة x

كوس x

جيب التمام

كوس x

-sin x

الظل

تان س

أركسين

أركسين x

أركوزين

arccos x

قوس ظل

أركتان العاشر

الجيب الزائدي

سينه س

كوش العاشر

جيب التمام الزائدي

كوش العاشر

سينه س

ظل زائدي

تانه س

الجيب الزائدي المعكوس

سينه -1 س

جيب التمام الزائدي المعكوس

كوش -1 ×

الظل القطعي المعكوس

تانه -1 x

أمثلة مشتقة

مثال 1

و ( س ) = س 3 +5 س 2 + س +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

المثال رقم 2

و ( س ) = الخطيئة (3 × 2 )

عند تطبيق قاعدة السلسلة:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

اختبار المشتق الثاني

عندما يكون المشتق الأول للدالة صفرًا عند النقطة x 0 .

و '( × 0 ) = 0

ثم المشتق الثاني عند النقطة x 0 ، f '(x 0 ) ، يمكن أن يشير إلى نوع تلك النقطة:

 

f '( x 0 )/ 0

الحد الأدنى المحلي

f '( x 0 ) <0

الحد الأقصى المحلي

و '' ( × 0 ) = 0

غير محدد

 


أنظر أيضا

حساب التفاضل والتكامل
جداول سريعة