تحويل لابلاس

تحويل لابلاس يحول دالة المجال الزمني إلى دالة المجال s بالتكامل من الصفر إلى اللانهاية

 لدالة المجال الزمني ، مضروبة في e -st .

يتم استخدام تحويل لابلاس لإيجاد حلول للمعادلات التفاضلية والتكاملات بسرعة.

يتحول الاشتقاق في المجال الزمني إلى الضرب بـ s في المجال s.

يتم تحويل التكامل في المجال الزمني إلى القسمة على s في المجال s.

وظيفة تحويل لابلاس

يتم تعريف تحويل لابلاس بالمعامل L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

معكوس تحويل لابلاس

يمكن حساب تحويل لابلاس المعكوس مباشرة.

عادة ما يتم إعطاء التحويل العكسي من جدول التحويلات.

طاولة تحويل لابلاس

اسم وظيفة وظيفة المجال الزمني تحويل لابلاس

و ( ر )

F ( s ) = L { f ( t )}

ثابت 1 \ frac {1} {s}
خطي ر \ frac {1} {s ^ 2}
قوة

ر ن

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

قوة

ر أ

Γ ( أ +1) ⋅ ث - ( أ +1)

الأس

البريد في

\ frac {1} {sa}

شرط

الخطيئة في

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

جيب التمام

كوس في

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

الجيب الزائدي

سينه في

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

جيب التمام الزائدي

كوش في

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

تزايد الجيب

ر الخطيئة في

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

تزايد جيب التمام

t cos في

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

الجيب المتحلل

ه -على الخطيئة ωt

\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

جيب التمام المتحلل

ه -على كوس ωt

\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

دالة دلتا

δ ( ر )

1

دلتا متأخرة

δ ( تا )

ه- as

خصائص تحويل لابلاس

اسم الخاصية وظيفة المجال الزمني تحويل لابلاس تعليق
 

و ( ر )

و ( ق )

 
الخطية af ( t ) + bg ( t ) aF ( ق ) + bG ( ق ) أ ، ب ثابتة
تغيير الحجم و ( في ) \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right) أ / 0
تحول e -at f ( t ) F ( s + a )  
تأخير و ( تا ) ه - مثل F ( ق )  
الاشتقاق \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - و (0)  
الاشتقاق من العشر \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} ث ن و ( ث ) - ث ن -1 و (0) - ث ن -2 و '(0) -...- و ( ن -1) (0)  
قوة ر ن و ( ر ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
دمج \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} و (ث)  
متبادل \ frac {1} {t} و (ر) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
التفاف و ( ر ) * ز ( ر ) و ( ق ) ⋅ G ( ق ) * هو عامل الالتفاف
الوظيفة الدورية و ( ر ) = و ( تي + تي ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

أمثلة تحويل لابلاس

مثال 1

أوجد تحويل f (t):

و ( ر ) = 3 ر + 2 ر 2

المحلول:

ℒ { t } = 1 / ثانية 2

ℒ { t 2 } = 2 / ثانية 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

المثال رقم 2

أوجد التحويل العكسي لـ F (s):

F ( ق ) = 3 / ( ث 2 + ث - 6)

المحلول:

لإيجاد التحويل العكسي ، نحتاج إلى تغيير دالة المجال s إلى صيغة أبسط:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

أ ( ق +3) + ب ( ق -2) = 3

لإيجاد a و b ، نحصل على معادلتين - أحد معاملي s والثاني من الباقي:

( أ + ب ) ث + 3 أ -2 ب = 3

أ + ب = 0 ، 3 أ -2 ب = 3

أ = 3/5 ، ب = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

يمكن الآن تحويل F (s) بسهولة باستخدام جدول التحويلات لوظيفة الأس:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


أنظر أيضا

حساب التفاضل والتكامل
جداول سريعة