Equació quadràtica

L’equació quadràtica és un polinomi de segon ordre amb 3 coeficients: a , b , c .

L'equació quadràtica ve donada per:

ax 2 + bx + c = 0

La solució a l’equació quadràtica ve donada per 2 nombres x 1 i x 2 .

Podem canviar l’equació de segon grau a la forma de:

( x - x 1 ) ( x - x 2 ) = 0

Fórmula quadràtica

La solució a l’equació quadràtica ve donada per la fórmula quadràtica:

 

 

L'expressió dins de l'arrel quadrada s'anomena discriminant i es denota per by:

Δ = b 2 - 4 ac

La fórmula quadràtica amb notació discriminant:

Aquesta expressió és important perquè ens pot explicar la solució:

  • Quan Δ/ 0, hi ha 2 arrels reals x 1 = (- b + √ Δ ) / (2a) i x 2 = (- b-√ Δ ) / (2a) .
  • Quan Δ = 0, hi ha una arrel x 1 = x 2 = -b / (2a) .
  • Quan Δ <0, no hi ha arrels reals, hi ha 2 arrels complexes:
    x 1 = (- b + i√ ) / (2a) i x 2 = (- bi√ ) / (2a) .

Problema núm. 1

3 x 2 +5 x +2 = 0

solució:

a = 3, b = 5, c = 2

x 1,2 = (-5 ± √ (5 2 - 4 × 3 × 2)) / (2 × 3) = (-5 ± √ (25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6

x 1 = (-5 + 1) / 6 = -4/6 = -2/3

x 2 = (-5 - 1) / 6 = -6/6 = -1

Problema núm. 2

3 x 2 -6 x +3 = 0

solució:

a = 3, b = -6, c = 3

x 1,2 = (6 ± √ ((-6) 2 - 4 × 3 × 3)) / (2 × 3) = (6 ± √ (36-36)) / 6 = (6 ± 0) / 6

x 1 = x 2 = 1

Problema núm. 3

x 2 +2 x +5 = 0

solució:

a = 1, b = 2, c = 5

x 1,2 = (-2 ± √ (2 2 - 4 × 1 × 5)) / (2 × 1) = (-2 ± √ (4-20)) / 2 = (-2 ± √ (-16 )) / 2

No hi ha solucions reals. Els valors són nombres complexos:

x 1 = -1 + 2 i

x 2 = -1 - 2 i

Gràfic de funcions quadràtiques

La funció quadràtica és una funció polinòmica de segon ordre:

f ( x ) = ax 2 + bx + c

 

Les solucions a l’equació quadràtica són les arrels de la funció quadràtica, que són els punts d’intersecció del gràfic de funció quadràtica amb l’eix x, quan

f ( x ) = 0

 

Quan hi ha 2 punts d’intersecció del gràfic amb l’eix x, hi ha 2 solucions a l’equació quadràtica.

Quan hi ha 1 punt d'intersecció del gràfic amb l'eix x, hi ha 1 solució a l'equació quadràtica.

Quan no hi ha punts d’intersecció del gràfic amb l’eix x, no obtenim solucions reals (ni 2 solucions complexes).

 


Vegeu també

ÀLGEBRA
TAULES RÀPIDES