Regles del logaritme

El logaritme de la base b d’un nombre és l’ exponent que necessitem per elevar la base per obtenir el nombre.

Definició del logaritme

Quan b s'eleva a la potència de y és igual a x:

b y = x

Llavors, el logaritme de la base b de x és igual a y:

log b ( x ) = y

Per exemple, quan:

2 4 = 16

Llavors

registre 2 (16) = 4

Logaritme com a funció inversa de la funció exponencial

La funció logarítmica,

y = registre b ( x )

és la funció inversa de la funció exponencial,

x = b y

Per tant, si calculem la funció exponencial del logaritme de x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

O si calculem el logaritme de la funció exponencial de x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Logaritme natural (ln)

El logaritme natural és un logaritme de la base e:

ln ( x ) = registre e ( x )

Quan e constant és el nombre:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

o

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

Vegeu: Logaritme natural

Càlcul del logaritme invers

El logaritme invers (o anti logaritme) es calcula elevant la base b al logaritme y:

x = log -1 ( y ) = b y

Funció logarítmica

La funció logarítmica té la forma bàsica de:

f ( x ) = registre b ( x )

Regles del logaritme

Nom de la regla Regla
Regla de producte del logaritme
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Regla del quocient del logaritme
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Regla de poder del logaritme
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Regla de commutador de base de logaritme
registre b ( c ) = 1 / registre c ( b )
Regla de canvi de base del logaritme
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivada del logaritme
f ( x ) = log b ( x ) f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Integral del logaritme
log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritme de nombre negatiu
el registre b ( x ) no està definit quan x ≤ 0
Logaritme de 0
el registre b (0) no està definit
\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Logaritme d'1
registre b (1) = 0
Logaritme de la base
registre b ( b ) = 1
Logaritme de l’infinit
lim log b ( x ) = ∞, quan x → ∞

Vegeu: Regles del logaritme

 

Regla de producte del logaritme

El logaritme de la multiplicació de x i y és la suma del logaritme de x i del logaritme de y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Per exemple:

registre 10 (3 7) = registre 10 (3) + registre 10 (7)

Regla del quocient del logaritme

El logaritme de la divisió de x i y és la diferència del logaritme de x i del logaritme de y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Per exemple:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Regla de poder del logaritme

El logaritme de x elevat a la potència de y és y vegades el logaritme de x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Per exemple:

registre 10 (2 8 ) = 8 registre 10 (2)

Regla de commutador de base de logaritme

El logaritme de la base b de c és 1 dividit pel logaritme de la base c de b.

registre b ( c ) = 1 / registre c ( b )

Per exemple:

registre 2 (8) = 1 / registre 8 (2)

Regla de canvi de base del logaritme

El logaritme de la base b de x és el logaritme de la base c de x dividit pel logaritme de la base c de b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Per exemple, per calcular el registre 2 (8) a la calculadora, hem de canviar la base a 10:

registre 2 (8) = registre 10 (8) / registre 10 (2)

Vegeu: regla de canvi de base de registre

Logaritme de nombre negatiu

El logaritme real de base b de x quan x <= 0 no està definit quan x és negatiu o igual a zero:

el registre b ( x ) no està definit quan x ≤ 0

Vegeu: registre del nombre negatiu

Logaritme de 0

El logaritme de base b de zero no està definit:

el registre b (0) no està definit

El límit del logaritme de base b de x, quan x s'aproxima a zero, és menys infinit:

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Vegeu: registre de zero

Logaritme d'1

El logaritme base b d’un és zero:

registre b (1) = 0

Per exemple, el logaritme de la base dos d'un és zero:

registre 2 (1) = 0

Vegeu: registre d’un

Logaritme de l’infinit

El límit del logaritme de la base b de x, quan x s'aproxima a l'infinit, és igual a l'infinit:

lim log b ( x ) = ∞, quan x → ∞

Vegeu: registre de l’infinit

Logaritme de la base

El logaritme base b de b és un:

registre b ( b ) = 1

Per exemple, el logaritme de dos base de dos és un:

registre 2 (2) = 1

Derivada del logaritme

Quan

f ( x ) = registre b ( x )

Llavors la derivada de f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Vegeu: derivada de registre

Integral de logaritme

La integral del logaritme de x:

log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Per exemple:

log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Aproximació del logaritme

registre 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Logaritme complex

Per al nombre complex z:

z = re = x + iy

El logaritme complex serà (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Registre z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Problemes i respostes de logaritme

Problema núm. 1

Cerca x per

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Solució:

Ús de la regla del producte:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Canvi del formulari de logaritme segons la definició de logaritme:

x ∙ ( x -3) = 2 2

O

x 2 -3 x -4 = 0

Resolució de l'equació de segon grau:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Com que el logaritme no està definit per a nombres negatius, la resposta és:

x = 4

Problema núm. 2

Cerca x per

registre 3 ( x +2) - registre 3 ( x ) = 2

Solució:

Utilitzant la regla del quocient:

registre 3 (( x +2) / x ) = 2

Canvi del formulari de logaritme segons la definició de logaritme:

( x +2) / x = 3 2

O

x +2 = 9 x

O

8 x = 2

O

x = 0,25

Gràfic del registre (x)

log (x) no està definit per a valors reals no positius de x:

Taula de logaritmes

x registre 10 x registre 2 x log e x
0 sense definir sense definir sense definir
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6.907755
0,01 -2 -6,643856 -4.605170
0,1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,471212 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,777151 2.584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5,991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6,802395
1.000 3 9.965784 6,907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Calculadora de logaritmes ►

 


Vegeu també

ÀLGEBRA
TAULES RÀPIDES