Odvozená pravidla

Odvozená pravidla a zákony. Tabulka derivací funkcí.

Derivační definice

Derivací funkce je poměr rozdílu hodnoty funkce f (x) v bodech x + Δx a x s Δx, když je Δx nekonečně malý. Derivací je sklon funkce nebo sklon tečny v bodě x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ až 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Druhá derivace

Druhá derivace je dána vztahem:

Nebo jednoduše odvodit první derivaci:

f '' (x) = (f '(x))'

N-tý derivát

N th derivát se vypočítá odvození f (x) n-krát.

K n th derivát se rovná derivát (n-1) derivát:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Příklad:

Najděte čtvrtou derivaci

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '= [10 x 4 ]' '= [40 x 3 ]' '= [120 x 2 ]' = 240 x

Derivace na grafu funkce

Derivací funkce je slop tangenciální čáry.

Odvozená pravidla

Pravidlo odvozené částky

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Pravidlo odvozeného produktu

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivační pravidlo kvocientu \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}
Pravidlo odvozeného řetězce

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Pravidlo odvozené částky

Když a a b jsou konstanty.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Příklad:

Najděte derivaci:

3 x 2 + 4 x.

Podle pravidla součtu:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Pravidlo odvozeného produktu

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivační pravidlo kvocientu

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}

Pravidlo odvozeného řetězce

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Toto pravidlo lze lépe pochopit pomocí Lagrangeovy notace:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Funkce lineární aproximace

Pro malé Δx můžeme získat aproximaci f (x 0 + Δx), když známe f (x 0 ) a f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Tabulka derivací funkcí

Název funkce Funkce Derivát

f ( x )

f '( x )
Konstantní

konst

0

Lineární

x

1

Napájení

x a

sekera a- 1

Exponenciální

e x

e x

Exponenciální

a x

a x ln a

Přirozený logaritmus

ln ( x )

Logaritmus

log b ( x )

Sinus

hřích x

cos x

Kosinus

cos x

-sin x

Tečna

opálení x

Arcsine

arcsin x

Arckosin

arccos x

Arkustangens

arctan x

Hyperbolický sinus

sinh x

cosh x

Hyperbolický kosinus

cosh x

sinh x

Hyperbolická tečna

tanh x

Inverzní hyperbolický sinus

sinh -1 x

Inverzní hyperbolický kosinus

cosh -1 x

Inverzní hyperbolická tečna

tanh -1 x

Derivativní příklady

Příklad č. 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Příklad č. 2

f ( x ) = hřích (3 x 2 )

Při použití pravidla řetězu:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Druhý derivační test

Když je první derivace funkce v bodě x 0 nula .

f '( x 0 ) = 0

Potom druhá derivace v bodě x 0 , f '' (x 0 ), může indikovat typ tohoto bodu:

 

f '' ( x 0 )/ 0

místní minimum

f '' ( x 0 ) <0

místní maximum

f '' ( x 0 ) = 0

neurčeno

 


Viz také

POČET
RYCHLÉ STOLY