Laplaceova transformace

Laplaceova transformace převádí funkci časové domény na funkci s-domény integrací z nuly do nekonečna

 funkce časové domény, vynásobeno e -st .

Laplaceova transformace se používá k rychlému nalezení řešení pro diferenciální rovnice a integrály.

Odvození v časové doméně je transformováno na násobení s v s-doméně.

Integrace v časové doméně se transformuje na dělení s v s-doméně.

Funkce Laplaceovy transformace

Laplaceova transformace je definována operátorem L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ vlevo \ {f (t) \ vpravo \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Inverzní Laplaceova transformace

Inverzní Laplaceovu transformaci lze vypočítat přímo.

Obvykle je inverzní transformace dána z tabulky transformací.

Laplaceova transformační tabulka

Název funkce Funkce časové domény Laplaceova transformace

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Konstantní 1 \ frac {1} {s}
Lineární t \ frac {1} {s ^ 2}
Napájení

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Napájení

t a

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)

Exponent

e v

\ frac {1} {sa}

Sinus

hřešit na

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Kosinus

protože v

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Hyperbolický sinus

sinh ve společnosti

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Hyperbolický kosinus

cosh ve společnosti

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Rostoucí sinus

t sin na

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Rostoucí kosinus

t cos ve

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Rozkládající se sinus

e -at sin ωt

\ frac {\ omega} {\ vlevo (s + a \ vpravo) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Rozkládající se kosinus

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ vlevo (s + a \ vpravo) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Funkce Delta

δ ( t )

1

Zpožděná delta

δ ( ta )

e- jako

Vlastnosti Laplaceovy transformace

Název vlastnosti Funkce časové domény Laplaceova transformace Komentář
 

f ( t )

F ( s )

 
Linearita af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b jsou konstantní
Změna měřítka f ( zavináč ) \ frac {1} {a} F \ vlevo (\ frac {s} {a} \ vpravo) a / 0
Posun e -at f ( t ) F ( s + a )  
Zpoždění f ( ta ) e - jako F ( s )  
Derivace \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
N-tý derivát \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Napájení t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Integrace \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F  
Reciproční \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Konvoluce f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * je operátor konvoluce
Periodická funkce f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Příklady Laplaceovy transformace

Příklad č. 1

Najděte transformaci f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Řešení:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

Příklad č. 2

Najděte inverzní transformaci F (s):

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Řešení:

Abychom našli inverzní transformaci, musíme změnit funkci s domény na jednodušší formu:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Abychom našli a a b, dostaneme 2 rovnice - jeden z koeficientů s a druhý ze zbytku:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Nyní lze F (y) snadno transformovat pomocí tabulky transformací pro funkci exponentů:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


Viz také

POČET
RYCHLÉ STOLY