Παράγοντες κανόνες

Παράγωγοι κανόνες και νόμοι. Πίνακας παραγώγων συναρτήσεων.

Παράγωγος ορισμός

Το παράγωγο μιας συνάρτησης είναι ο λόγος της διαφοράς της τιμής συνάρτησης f (x) στα σημεία x + Δx και x με Δx, όταν το Δx είναι άπειρα μικρό. Το παράγωγο είναι η κλίση συνάρτησης ή η κλίση της εφαπτομένης γραμμής στο σημείο x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Δεύτερο παράγωγο

Το δεύτερο παράγωγο δίνεται από:

Ή απλώς αντλήστε το πρώτο παράγωγο:

f

Nth παράγωγο

Το n th παράγωγο υπολογίζεται με απορρέουν f (x) n φορές.

Τα n th παράγωγο είναι ίσο με το παράγωγο του (n-1) παράγωγο:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] "

Παράδειγμα:

Βρείτε το τέταρτο παράγωγο του

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] "" = [10 x 4 ] "" = [40 x 3 ] "= [120 x 2 ]" = 240 x

Παράγωγο στο γράφημα της συνάρτησης

Το παράγωγο μιας συνάρτησης είναι η κλίση της εφαπτομενικής γραμμής.

Παράγοντες κανόνες

Παράγωγος κανόνας αθροίσματος

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Κανόνας παραγώγων προϊόντων

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Παράγωγος κανόνας πηλίκου \ αριστερά (\ frac {f (x)} {g (x)} \ δεξιά) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( Χ)}
Παράγωγος κανόνας αλυσίδας

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Παράγωγος κανόνας αθροίσματος

Όταν τα a και b είναι σταθερές.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Παράδειγμα:

Βρείτε το παράγωγο του:

3 x 2 + 4 x.

Σύμφωνα με τον κανόνα αθροίσματος:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Κανόνας παραγώγων προϊόντων

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Παράγωγος κανόνας πηλίκου

\ αριστερά (\ frac {f (x)} {g (x)} \ δεξιά) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( Χ)}

Παράγωγος κανόνας αλυσίδας

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Αυτός ο κανόνας μπορεί να γίνει καλύτερα κατανοητός με τη σημείωση του Lagrange:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Λειτουργική γραμμική προσέγγιση

Για μικρά Δx, μπορούμε να πάρουμε μια προσέγγιση στο f (x 0 + Δx), όταν γνωρίζουμε f (x 0 ) και f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Πίνακας παραγώγων συναρτήσεων

Όνομα συνάρτησης Λειτουργία Παράγωγο

στ ( x )

f '( x )
Συνεχής

υπ

0

Γραμμικός

x

1

Εξουσία

x α

ax α- 1

Εκθετικός

ε x

ε x

Εκθετικός

ένα x

a x ln α

Φυσικός λογάριθμος

ln ( x )

Λογάριθμος

log b ( x )

Ημίτονο

αμαρτία x

cos x

Συνημίτονο

cos x

-σεχ x

Εφαπτομένος

μαύρισμα x

Αρκσίνη

τόξο x

Αρκοσίνη

arccos x

Arctangent

Αρκταν x

Υπερβολικό ημίτονο

Σινχ x

κοχ x

Υπερβολικό συνημίτονο

κοχ x

Σινχ x

Υπερβολική εφαπτομένη

tanh x

Αντίστροφο υπερβολικό ημίτονο

sinh -1 x

Αντίστροφο υπερβολικό συνημίτονο

cosh -1 x

Αντίστροφη υπερβολική εφαπτομένη

tanh -1 x

Παράγωγα παραδείγματα

Παράδειγμα # 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Παράδειγμα # 2

f ( x ) = αμαρτία (3 x 2 )

Κατά την εφαρμογή του κανόνα αλυσίδας:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Δεύτερο παράγωγο τεστ

Όταν το πρώτο παράγωγο μιας συνάρτησης είναι μηδέν στο σημείο x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Στη συνέχεια, το δεύτερο παράγωγο στο σημείο x 0 , f "(x 0 ), μπορεί να υποδείξει τον τύπο αυτού του σημείου:

 

f "( x 0 )/ 0

τοπικό ελάχιστο

f "( x 0 ) <0

τοπικό μέγιστο

f "( x 0 ) = 0

αναποφάσιστος

 


Δείτε επίσης

ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΓΡΗΓΟΡΑ ΠΙΝΑΚΕΣ