Μετασχηματισμός Laplace

Ο μετασχηματισμός Laplace μετατρέπει μια συνάρτηση τομέα χρόνου σε συνάρτηση s-domain με ενσωμάτωση από μηδέν σε άπειρο

 της συνάρτησης τομέα χρόνου, πολλαπλασιαζόμενη με το e -st .

Ο μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται για γρήγορη εύρεση λύσεων για διαφορικές εξισώσεις και ολοκληρώματα.

Το παράγωγο στον τομέα χρόνου μετατρέπεται σε πολλαπλασιασμό κατά s στον τομέα s.

Η ενσωμάτωση στον τομέα χρόνου μετατρέπεται σε διαίρεση κατά s στον τομέα s.

Λειτουργία μετασχηματισμού Laplace

Ο μετασχηματισμός Laplace ορίζεται με τον τελεστή L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ αριστερά \ {f (t) \ δεξιά \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Μετασχηματισμός αντίστροφου Laplace

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace μπορεί να υπολογιστεί απευθείας.

Συνήθως ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίνεται από τον πίνακα μετασχηματισμών.

Πίνακας μετασχηματισμού Laplace

Όνομα συνάρτησης Συνάρτηση τομέα χρόνου Μετασχηματισμός Laplace

στ ( τ )

F ( s ) = L { f ( t )}

Συνεχής 1 \ frac {1} {s}
Γραμμικός τ \ frac {1} {s ^ 2}
Εξουσία

t ν

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Εξουσία

τ α

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)

Εκθέτης

ε σε

\ frac {1} {sa}

Ημίτονο

αμαρτία στο

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Συνημίτονο

cos στο

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Υπερβολικό ημίτονο

Σινχ στο

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Υπερβολικό συνημίτονο

κοίτα στο

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Καλλιέργεια ημιτονοειδούς

t αμαρτία σε

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Αυξανόμενο συνημίτονο

t cos σε

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Ημιτονοειδές

e -at sin ωt

\ frac {\ omega} {\ αριστερά (s + a \ δεξιά) ^ 2 + \ ωμέγα ^ 2}

Παρακμή συνημίτονο

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ αριστερά (s + a \ δεξιά) ^ 2 + \ ωμέγα ^ 2}

Συνάρτηση Delta

δ ( τ )

1

Καθυστέρηση δέλτα

δ ( ta )

ε- ως

Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace

Ονομα ιδιοκτησίας Συνάρτηση τομέα χρόνου Μετασχηματισμός Laplace Σχόλιο
 

στ ( τ )

F ( ες )

 
Γραμμικότητα af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b είναι σταθερά
Αλλαγή κλίμακας στ ( στο ) \ frac {1} {a} F \ αριστερά (\ frac {s} {a} \ δεξιά) α / 0
Μετατόπιση e -at f ( τ ) F ( s + α )  
Καθυστέρηση f ( ta ) ε - ως F ( ες )  
Παραγωγή \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
Β-παράγωγο \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Εξουσία t n στ ( τ ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Ενσωμάτωση \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (ες)  
Αμοιβαίος \ frac {1} {t} στ (τ) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Περιελιγμός f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * είναι ο χειριστής της συνέλιξης
Περιοδική συνάρτηση f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Παραδείγματα μετασχηματισμού Laplace

Παράδειγμα # 1

Βρείτε τον μετασχηματισμό του f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Λύση:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

Παράδειγμα # 2

Βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό των F:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Λύση:

Για να βρούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό, πρέπει να αλλάξουμε τη συνάρτηση τομέα σε μια απλούστερη φόρμα:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Για να βρούμε a και b, λαμβάνουμε 2 εξισώσεις - έναν από τους συντελεστές s και δεύτερος από τους υπόλοιπους:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Τώρα τα F μπορούν να μεταμορφωθούν εύκολα χρησιμοποιώντας τον πίνακα μετασχηματισμών για εκθετική συνάρτηση:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


Δείτε επίσης

ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΓΡΗΓΟΡΑ ΠΙΝΑΚΕΣ