Tuletisreeglid

Tuletisreeglid ja seadused. Funktsioonide tuletiste tabel.

Tuletise määratlus
Tuletisreeglid
Funktsioonide tuletiste tabel
Tuletatud näited

Tuletise määratlus

Funktsiooni tuletis on funktsiooniväärtuse f (x) erinevuse suhe punktides x + Δx ja x punktiga Δx, kui Δx on lõpmata väike. Tuletis on puutuja joone funktsiooni kalle või kalle punktis x.

$f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}$

Teine tuletis

Teise tuletise annab:

Või tuletage lihtsalt esimene tuletis:

N-nda tuletis

N järku tuletis arvutatakse tuletamise f (x) n korda.

N järku tuletis võrdub tuletis (n-1) derivaat:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n- 1)} ( x )] '

Näide:

Leidke neljas tuletis

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' = [40 x ³ ] '' = [120 x ² ] '= 240 x

Tuletis funktsiooni graafikul

Funktsiooni tuletis on tangentsiaaljoone kalle.

Tuletisreeglid

Tuletatud summa reegel	( af ( x ) + bg ( x )) "= af" ( x ) + bg " ( x )
Tuletistoodete reegel	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Tuletatud jagatisreegel	$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}$
Tuletisahela reegel	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Tuletatud summa reegel

Kui a ja b on konstandid.

( af ( x ) + bg ( x )) "= af" ( x ) + bg " ( x )

Näide:

Leidke tuletis:

3 x ² + 4 x.

Summa reegli kohaselt:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Tuletistoodete reegel

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Tuletatud jagatisreegel

$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}$

Tuletisahela reegel

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Seda reeglit saab paremini mõista Lagrange'i märkega:

$\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}$

Funktsiooni lineaarne lähendamine

Väikese Δx korral saame ligikaudse väärtuse f (x ₀ + Δx), kui teame f (x ₀ ) ja f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Funktsioonide tuletiste tabel

Funktsiooni nimi	Funktsioon	Tuletis
Funktsiooni nimi	f ( x )	f '( x )
Pidev	konst	0
Lineaarne	x	1
Võimsus	x ^a	kirves ^a-¹
Eksponentsiaalne	e ^x	e ^x
Eksponentsiaalne	a ^x	a ^x ln a
Looduslik logaritm	ln ( x )
Logaritm	log _b ( x )
Siinus	patt x	cos x
Kosinus	cos x	-sin x
Tangent	tan x
Arcsine	arcsin x
Arccosine	arccos x
Arkangent	arktaan x
Hüperboolne siinus	sinh x	cosh x
Hüperboolne koosinus	cosh x	sinh x
Hüperboolne puutuja	tanh x
Pöördhüperboolne siinus	sinh ^-1 x
Pöördhüperboolne koosinus	cosh ^-1 x
Pöördhüperboolne puutuja	tanh ^-1 x