લેપલેસ ટ્રાન્સફોર્મ

લapપ્લેસ શૂન્યથી અનંતમાં સંકલન દ્વારા ટાઇમ ડોમેન ફંક્શનને એસ-ડોમેન ફંક્શનમાં રૂપાંતરિત કરે છે

 સમય ડોમેન ફંક્શનનું, -st દ્વારા ગુણાકાર .

લેપલેસ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ વિભેદક સમીકરણો અને ઇન્ટિગ્રેલ્સ માટે ઝડપથી ઉકેલો શોધવા માટે થાય છે.

સમય ડોમેનમાં વ્યુત્પત્તિ એસ-ડોમેનમાંના ગુણાકારમાં રૂપાંતરિત થાય છે.

સમય ડોમેનમાં એકીકરણ s દ્વારા ડોમેન દ્વારા વિભાજનમાં રૂપાંતરિત થાય છે.

લેપલેસ ટ્રાન્સફોર્મ ફંક્શન

apપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ એલ {} ઓપરેટર સાથે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે :

F (s) = \ mathcal {L} \ ડાબી બાજુ \ {f (t) \ અધિકાર \} = \ અંત_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Inંધી લapપલેસ રૂપાંતર

Inંધી લapપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મની સીધી ગણતરી કરી શકાય છે.

સામાન્ય રીતે પરિવર્તન કોષ્ટકમાંથી verseંધી પરિવર્તન આપવામાં આવે છે.

લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ ટેબલ

કાર્ય નામ સમય ડોમેન કાર્ય લેપલેસ રૂપાંતર

એફ ( ટી )

F ( s ) = L { f ( t )

સતત 1 rac frac {1} {s}
રેખીય ટી rac frac {1} {s ^ 2}
પાવર

ટી એન

rac frac {n!} {s ^ {n + 1}

પાવર

ટી

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)

ઘાતક

અંતે

rac frac {1} {sa}

સાઇન

પાપ પર

rac frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

કોઝિન

કોસ પર

rac frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

હાયપરબોલિક સાઇન

sinh અંતે

rac frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

હાયપરબોલિક કોસાઇન

અંતે કોશ

rac frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

સાઇન વધતી

ટી પાપ પર

rac frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2

વધતી કોસિન

ટી કોસ પર

rac frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2

ક્ષીણ સાઇન

e -at પાપ ωt

rac ફ્રેક {\ ઓમેગા} {\ ડાબી બાજુ (ઓ + એ \ જમણું) ^ 2 + \ ઓમેગા ^ 2}

ક્ષીણ થઈ રહેલા કોસાઇન

e -at કોસ ωt

rac frac {s + a} {\ ડાબે (s + a \ અધિકાર) ^ 2 + \ ઓમેગા ^ 2}

ડેલ્ટા ફંક્શન

t ( ટી )

1

વિલંબિત ડેલ્ટા

ta ( તા )

e -as

લેપલેસ પરિવર્તન ગુણધર્મો

મિલકત નામ સમય ડોમેન કાર્ય લેપલેસ રૂપાંતર ટિપ્પણી
 

એફ ( ટી )

F ( )

 
રેખીયતા એએફ ( T ) + BG ( T ) એએફ ( ) + બીજી ( ) , બી સ્થિર છે
સ્કેલ ફેરફાર એફ ( અંતે ) rac frac {1} {a} F \ ડાબી (\ frac {s} {a} \ અધિકાર) a / 0
પાળી e -at f ( t ) F ( s + a )  
વિલંબ એફ ( તા ) - કારણ કે એફ ( )  
વ્યુત્પત્તિ rac frac {df (t) {{dt એસએફ ( ) - એફ (0)  
N-th વ્યુત્પન્ન rac frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
પાવર ટી એન એફ ( ટી ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
એકીકરણ \ પૂર્ણાંક {0} ^ {t} f (x) ડીએક્સ rac frac {1} {s} F (s)  
પારસ્પરિક rac frac {1} {t} f (t) \ અંત_ {s {^ {\ infty. F (x) dx  
કન્વોલ્યુશન f ( t ) * g ( t ) એફ ( ) ⋅ જી ( ) * કન્વોલ્યુશન operatorપરેટર છે
સામયિક કાર્ય f ( t ) = f ( t + T ) rac frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

લેપ્લેસ ઉદાહરણો બદલી

ઉદાહરણ # 1

એફ (ટી) નું પરિવર્તન શોધો:

f ( t ) = 3 ટી + 2 ટી 2

ઉકેલો:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

ઉદાહરણ # 2

એફ (ઓ) નું વ્યસ્ત પરિવર્તન શોધો:

એફ ( ) = 3 / ( સે 2 + સે - 6)

ઉકેલો:

Verseંધી પરિવર્તન શોધવા માટે, અમારે ડોમેન કાર્યને એક સરળ સ્વરૂપમાં બદલવાની જરૂર છે:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + બી ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

A અને b શોધવા માટે, અમને 2 સમીકરણો મળે છે - એકના સહગુણાંકોમાંથી એક અને બાકીનું બીજું:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, બી = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

હવે એફ (ઓ) ને ઘાતક કાર્ય માટે ટ્રાન્સફોર્મ ટેબલનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી બદલી શકાય છે:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


આ પણ જુઓ

કેલ્ક્યુલસ
ઝડપી ટેબલ્સ