קבוע

קבוע e או מספר אוילר הוא קבוע מתמטי. הקבוע e הוא מספר ממשי ולא הגיוני.

e = 2.718281828459 ...

הגדרת e
מאפיינים של ה
לוגריתם בסיסי
פונקציה מעריכית
הנוסחה של אוילר

הגדרת e

קבוע e מוגדר כגבול:

$e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...$

הגדרות חלופיות

קבוע e מוגדר כגבול:

$e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}$

קבוע e מוגדר כסדרה האינסופית:

$e = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {n!} = \ frac {1} {0!} + \ frac {1} {1!} + \ frac {1} { 2!} + \ Frac {1} {3!} + ...$

מאפיינים של ה

הדדי של ה

ההדדי של e הוא הגבול:

$\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1- \ frac {1} {x} \ right) ^ x = \ frac {1} {e}$

נגזרות של ה

הנגזרת של הפונקציה האקספוננציאלית היא הפונקציה האקספוננציאלית:

( e ^x ) '= e ^x

הנגזרת של פונקציית הלוגריתם הטבעית היא הפונקציה ההדדית:

(log _e x ) '= (ln x )' = 1 / x

אינטגרלים של ה

האינטגרל הבלתי מוגדר של הפונקציה האקספוננציאלית e ^x הוא הפונקציה האקספוננציאלית e ^x .

∫ e ^x dx = e ^x + c

האינטגרל הבלתי מוגדר של פונקציית לוגריתם טבעית יומן _e x הוא:

∫ log _e x dx = ∫ ln x dx = x ln x - x + c

האינטגרל המובהק מ -1 עד e של הפונקציה ההדדית 1 / x הוא 1:

$\ int_ {1} ^ {e} \ frac {1} {x} \: dx = 1$

לוגריתם בסיסי

הלוגריתם הטבעי של מספר x מוגדר כלוגריתם הבסיס של x:

ln x = יומן _e x

פונקציה מעריכית

הפונקציה האקספוננציאלית מוגדרת כ:

f ( x ) = exp ( x ) = e ^x

הנוסחה של אוילר

למספר המורכב e ^iθ יש זהות:

e ^iθ = cos ( θ ) + i sin ( θ )

אני היא היחידה הדמיונית (השורש הריבועי -1).

θ הוא כל מספר אמיתי.