व्युत्पन्न नियम
व्युत्पन्न नियम और कानून। कार्यों की तालिका तालिका।
व्युत्पन्न परिभाषा
किसी फ़ंक्शन की व्युत्पत्ति, बिंदु x + Δx और x के साथ x पर फ़ंक्शन मान f (x) के अंतर का अनुपात है, जब isx असीम रूप से छोटा होता है। व्युत्पन्न फ़ंक्शन एक्स या बिंदु x पर स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है।
दूसरा व्युत्पन्न
दूसरा व्युत्पन्न निम्न द्वारा दिया गया है:
या बस पहला व्युत्पन्न प्राप्त करें:
नौवां व्युत्पन्न
N वें व्युत्पन्न f (x) एन बार पाने की जाती है।
N वें व्युत्पन्न है की (n-1) व्युत्पन्न व्युत्पन्न के बराबर:
f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '
उदाहरण:
के चौथे व्युत्पन्न का पता लगाएं
f ( x ) = 2 x 5
f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' '' = [40 x 3 ] '' = [120 x 2 ] '= 240 x
फ़ंक्शन के ग्राफ पर व्युत्पन्न
एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है।
व्युत्पन्न नियम
| व्युत्पन्न राशि नियम |
( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x ) |
| व्युत्पन्न उत्पाद नियम |
( f ( x ) ( g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) जी ' ( x ) |
| व्युत्पन्न भागफल नियम |
 |
| व्युत्पन्न श्रृंखला नियम |
f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ( g ' ( x ) |
व्युत्पन्न राशि नियम
जब ए और बी लगातार होते हैं।
( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
उदाहरण:
इसका व्युत्पन्न खोजें:
3 x 2 + 4 x।
राशि नियम के अनुसार:
a = 3, b = 4
f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x
f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1
(3 x 2 + 4 x ) '= 3 x2 x + 4 =1 = 6 x + 4
व्युत्पन्न उत्पाद नियम
( f ( x ) ( g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) जी ' ( x )
व्युत्पन्न भागफल नियम
व्युत्पन्न श्रृंखला नियम
f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ( g ' ( x )
इस नियम को लाग्रेंज के अंकन से बेहतर समझा जा सकता है:
फंक्शन रैखिक सन्निकटन
छोटे fx के लिए, हम f (x 0 + ) x ) के लिए एक अनुमान लगा सकते हैं , जब हम f (x 0 ) और f '(x 0 ) जानते हैं :
f ( x 0 + Δ x ) x f ( x 0 ) + f '( x 0 ) Δ x
कार्यों की तालिका तालिका
| कार्य का नाम | समारोह | यौगिक |
|---|---|---|
|
च ( x ) |
f '( x ) | |
| लगातार |
स्थिरांक |
0 |
| रैखिक |
x |
1 |
| शक्ति |
x a |
कुल्हाड़ी a- १ |
| घातीय |
ई एक्स |
ई एक्स |
| घातीय |
a x |
a x ln a |
| प्राकृतिक |
ln ( x ) |
|
| लोगारित्म |
लॉग बी ( एक्स ) |
|
| ज्या |
पाप x |
cos x |
| कोसाइन |
cos x |
-सीन एक्स |
| स्पर्शरेखा |
तन x |
|
| arcsine |
आर्क्सिन एक्स |
|
| कोटिकोज्या |
arccos x |
|
| arctangent |
अर्कटन x |
 |
| हाइपरबोलिक साइन |
पाप x |
cosh x |
| हाइपरबोलिक कॉशन |
cosh x |
पाप x |
| अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शज्या |
तन्ह x |
|
| हाइपरबोलिक साइन उलटा |
पाप -1 एक्स |
|
| व्युत्क्रम हाइपरबोलिक कोसाइन |
cosh -1 एक्स |
|
| उलटा स्पर्शवर्धक स्पर्शज्या |
तनह -1 x |
|
व्युत्पन्न उदाहरण
उदाहरण 1
f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8
f ' ( x ) = 3 x 2 + 2 ( 5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1
उदाहरण # 2
f ( x ) = sin (3 x 2 )
चेन नियम लागू करते समय:
f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) x [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) = -6 x
दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण
जब किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न बिंदु x 0 पर शून्य होता है ।
f '( x 0 ) = 0
तब बिंदु x 0 , f '' (x 0 ) पर दूसरा व्युत्पन्न, उस बिंदु के प्रकार को इंगित कर सकता है:
|
f '' ( x 0 )/ 0 |
स्थानीय न्यूनतम |
|
f '' ( x 0 ) <0 |
स्थानीय अधिकतम |
|
f '' ( x 0 ) = 0 |
अनपेक्षित |