Származtatott szabályok

Származtatott szabályok és törvények. A függvények származtatott táblázata.

Származtatott meghatározás
Származtatott szabályok
A függvények származtatott táblázata
Származtatott példák

Származtatott meghatározás

A függvény deriváltja az f (x) függvényérték különbségének aránya az x + Δx és x pontokban a Δx-szel, amikor Δx végtelenül kicsi. A derivált az érintő egyenes függvénylejtése vagy meredeksége az x pontban.

$f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}$

Második származék

A második származékot a következők adják:

Vagy egyszerűen származtassa az első származékot:

N-dik derivált

Az n- dik deriváltot f (x) n-szer levezetésével számoljuk.

Az n- dik származék egyenlő az (n-1) származék származékával:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Példa:

Keresse meg a negyedik deriváltját

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] "" "= [10 x ⁴ ]" "= [40 x ³ ]" = [120 x ² ] '= 240 x

Származék a függvény grafikonján

A függvény deriváltja a tangenciális egyenes meredeksége.

Származtatott szabályok

Származtatott összeg szabály	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Származtatott termék szabály	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Származtatott hányados szabály	$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}$
Származtatott láncszabály	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Származtatott összeg szabály

Amikor a és b konstansok.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Példa:

Keresse meg a következő származékát:

3 x ² + 4 x.

Az összegszabály szerint:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Származtatott termék szabály

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Származtatott hányados szabály

$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}$

Származtatott láncszabály

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Ez a szabály jobban érthető Lagrange jelölésével:

$\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}$

Funkció lineáris közelítés

Kis Δx esetén közelítést kaphatunk f (x ₀ + Δx) -hez, ha ismerjük f (x ₀ ) és f '(x ₀ ):

f ( x ₀ + Δ x ) ≈ f ( x ₀ ) + F „( x ₀ ) ⋅Δ X

A függvények származtatott táblázata

Funkció neve	Funkció	Derivált
Funkció neve	f ( x )	f '( x )
Állandó	konst	0
Lineáris	x	1
Erő	x ^a	ax ^a-¹
Exponenciális	e ^x	e ^x
Exponenciális	a ^x	a ^x ln a
Természetes logaritmus	ln ( x )
Logaritmus	log _b ( x )
Szinusz	bűn x	cos x
Koszinusz	cos x	-sin x
Tangens	tan x
Arcsine	arcsin x
Arccosine	arccos x
Arctangent	arctan x
Hiperbolikus szinusz	sinh x	cosh x
Hiperbolikus koszinusz	cosh x	sinh x
Hiperbolikus érintő	tanh x
Inverz hiperbolikus szinusz	sinh ^-1 x
Inverz hiperbolikus koszinusz	cosh ^-1 x
Inverz hiperbolikus érintő	tanh ^-1 x