Laplace Transform

A Laplace-transzformáció egy időtartomány-függvényt s-tartománysá alakít át nulla és végtelen közötti integrációval

 az időtartomány függvény értéke, szorozva az e -st értékkel .

A Laplace-transzformációt arra használják, hogy gyorsan megoldásokat találjanak a differenciálegyenletekre és integrálokra.

Az időtartományban levezetés átalakul s-gyel való szorzásra az s-tartományban.

Az időtartomány integrációja átalakul az s tartományban lévő s osztással.

Laplace transzformációs függvény

A Laplace transzformációt az L {} operátor határozza meg:

F (s) = \ mathcal {L} \ bal \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Fordított Laplace-transzformáció

Az inverz Laplace transzformáció közvetlenül kiszámítható.

Általában az inverz transzformációt a transzformációs táblából adjuk meg.

Laplace transzformációs táblázat

Funkció neve Időtartomány függvény Laplace-transzformáció

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}
Állandó 1 \ frac {1} {s}
Lineáris t \ frac {1} {s ^ 2}
Erő

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}
Erő

t a

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)
Kitevő

e at

\ frac {1} {sa}
Szinusz

sin at

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}
Koszinusz

cos at

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}
Hiperbolikus szinusz

sinh at

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}
Hiperbolikus koszinusz

cosh itt

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}
Növekvő szinusz

t sin at

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}
Növekvő koszinusz

t cos at

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}
Bomló szinusz

e -at sin ωt

\ frac {\ omega} {\ bal (s + a \ jobb) ^ 2 + \ omega ^ 2}
Bomló koszinusz

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ balra (s + a \ jobbra) ^ 2 + \ omega ^ 2}
Delta függvény

δ ( t )

1

Késleltetett delta

δ ( ta )

e -as

Laplace transzformációs tulajdonságok

Ingatlan neve Időtartomány függvény Laplace-transzformáció Megjegyzés
 

f ( t )

F ( s )

  
Linearitás af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b állandóak
Méretváltozás f ( at ) \ frac {1} {a} F \ balra (\ frac {s} {a} \ jobbra) a / 0
Váltás e -at f ( t ) F ( s + a )  
Késleltetés f ( ta ) e - mint F ( s )  
Származtatás \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
N-edik levezetés \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Erő t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Integráció \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (ek)  
Kölcsönös \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Konvolúció f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * a konvolúció operátor
Periodikus funkció f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Laplace-transzformációs példák

1. példa

Keresse meg f (t) transzformációját:

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Megoldás:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

2. példa

Keresse meg F (s) inverz transzformációját:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Megoldás:

Az inverz transzformáció megtalálásához az s tartományfüggvényt egyszerűbb formára kell cserélnünk:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Az a és b megtalálásához 2 egyenletet kapunk - az s együttható egyikét, a többit pedig a másodikból:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Most F (ek) könnyen transzformálható a transzformátorok táblázata segítségével az exponens függvényhez:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 

Lásd még

SZÁMÍTÁS
GYORS TÁBLÁZATOK