Transformasi Laplace

Transformasi Laplace mengubah fungsi domain waktu menjadi fungsi domain s dengan integrasi dari nol hingga tak terbatas

dari fungsi domain waktu, dikalikan dengan e ^-st .

Transformasi Laplace digunakan untuk mencari solusi persamaan diferensial dan integral dengan cepat.

Penurunan domain waktu diubah menjadi perkalian dengan s dalam domain s.

Integrasi dalam domain waktu diubah menjadi divisi oleh s di domain s.

Fungsi transformasi Laplace

Transformasi Laplace didefinisikan dengan operator L {}:

$F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt$

Transformasi Laplace terbalik dapat dihitung secara langsung.

Biasanya transformasi terbalik diberikan dari tabel transformasi.

Nama fungsi	Fungsi domain waktu	Transformasi Laplace
Nama fungsi	f ( t )	F ( s ) = L { f ( t )}
Konstan	1	$\ frac {1} {s}$
Linear	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
Kekuasaan	t ⁿ	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
Kekuasaan	t ^a	Γ ( a 1) ⋅ s ^{- ( a 1)}
Eksponen	e ^di	$\ frac {1} {sa}$
Sinus	berdosa di	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Kosinus	cos di	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
Sinus hiperbolik	sinh di	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
Kosinus hiperbolik	cosh at	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
Tumbuh sinus	t dosa di	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Menumbuhkan kosinus	t cos at	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
Sinus yang membusuk	e ^-at sin ωt	$\ frac {\ omega} {\ kiri (s + a \ kanan) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Kosinus yang membusuk	e ^-at cos ωt	$\ frac {s + a} {\ kiri (s + a \ kanan) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
Fungsi delta	δ ( t )	1
Delta tertunda	δ ( ta )	e ^-as

Nama properti	Fungsi domain waktu	Transformasi Laplace	Komentar
	f ( t )	F ( s )
Linearitas	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b konstan
Perubahan skala	f ( at )	$\ frac {1} {a} F \ kiri (\ frac {s} {a} \ kanan)$	a / 0
Bergeser	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Menunda	f ( ta )	e ^{- sebagai} F ( s )
Penurunan	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( s ) - f (0)
Derivasi ke-N	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0) -...- f ^{( n -1)} (0)
Kekuasaan	t ⁿ f ( t )	$(-1) ^ n \ frac {h ^ nF (s)} {ds ^ n}$
Integrasi	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} F (s)$
Timbal-balik	$\ frac {1} {t} f (t)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
Lilitan	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* adalah operator konvolusi
Fungsi periodik	f ( t ) = f ( t + T )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$