畳み込み

畳み込みは、f(τ)と逆関数g(t-τ)の相関関数です。

畳み込み演算子はアスタリスク記号*です。

連続畳み込み

f(t)とg(t)の畳み込みは、f(τ)×f(t-τ)の積分に等しくなります。

f(t)* g(t)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} f(\ tau)g(t- \ tau)d \ tau

離散たたみ込み

2つの離散関数の畳み込みは次のように定義されます。

f(n)* g(n)= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} f(k)\:g(nk)

2D離散畳み込み

通常、画像処理には2次元の離散畳み込みが使用されます。

f(n、m)* g(n、m)= \ sum_ {j =-\ infty} ^ {\ infty} \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} f(j、k)\: g(nj、mk)

畳み込みによるフィルターの実装

インパルス応答h(n)との畳み込みにより、離散入力信号x(n)をフィルタリングして、出力信号y(n)を取得できます。

yn)= xn)* hn

畳み込み定理

2つの関数の乗算のフーリエ変換は、各関数のフーリエ変換の畳み込みに等しくなります。

ℱ{ F  ⋅ G } =ℱ{ F } *ℱ{ G }

2つの関数の畳み込みのフーリエ変換は、各関数のフーリエ変換の乗算に等しくなります。

ℱ{ f  * g } =ℱ{ f }⋅ℱ{ g }

 
連続フーリエ変換の畳み込み定理

ℱ{ FT)⋅ GT)} =ℱ{ FT)} *ℱ{ GT)} = Fω)* Gω

ℱ{ FT)* GT)} =ℱ{ FT)}⋅ℱ{ GT)} = Fω)⋅ Gω

離散フーリエ変換の畳み込み定理

ℱ{ FN)⋅ GN)} =ℱ{ FN)} *ℱ{ GN)} = FK)* GK

ℱ{ FN)* GN)} =ℱ{ FN)}⋅ℱ{ GN)} = FK)⋅ GK

ラプラス変換の畳み込み定理

ℒ{ FT)* GT)} =ℒ{ FT)}⋅ℒ{ GT)} = FS)⋅ GS

 


も参照してください

微積分
迅速なテーブル