ラプラス変換

ラプラス変換は、ゼロから無限大への積分により、時間領域関数をs領域関数に変換します

時間領域関数のe- ^stを掛けたもの。

ラプラス変換は、微分方程式と積分の解をすばやく見つけるために使用されます。

時間領域での派生は、s領域でのsによる乗算に変換されます。

時間領域での積分は、s領域でのsによる除算に変換されます。

ラプラス変換関数

ラプラス変換は、L {}演算子で定義されます。

$F（s）= \ mathcal {L} \ left \ {f（t）\ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} f（t）dt$

逆ラプラス変換は直接計算できます。

通常、逆変換は変換テーブルから与えられます。

関数名	時間領域関数	ラプラス変換
関数名	f（t）	F（s）= L { f（t）}
絶え間ない	1	$\ frac {1} {s}$
線形	t	$\ frac {1} {s ^ 2}$
力	t ⁿ	$\ frac {n！} {s ^ {n + 1}}$
力	t ^a	Γ（+1）⋅ S ^{- （}^+1）
指数	e ^at	$\ frac {1} {sa}$
正弦	罪で	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
余弦	cos at	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
双曲線正弦	SINHで	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
双曲線余弦	cosh at	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
成長するサイン	t sin at	$\ frac {2as} {（s ^ 2 + a ^ 2）^ 2}$
成長するコサイン	t cos at	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {（s ^ 2 + a ^ 2）^ 2}$
減衰正弦	電子^-at罪ωT	$\ frac {\ omega} {\ left（s + a \ right）^ 2 + \ omega ^ 2}$
減衰コサイン	電子^-at COS ωT	$\ frac {s + a} {\ left（s + a \ right）^ 2 + \ omega ^ 2}$
デルタ関数	δ（t）	1
遅延デルタ	δ（ta）	e ^-as

プロパティ名	時間領域関数	ラプラス変換	コメント
	f（t）	F（s）
直線性	af（t）+ bg（t）	aF（s）+ bG（s）	a、bは一定です
スケール変更	f（at）	$\ frac {1} {a} F \ left（\ frac {s} {a} \ right）$	a / 0
シフト	e ^-at f（t）	F（s + a）
ディレイ	f（ta）	e ^{- as} F（s）
導出	$\ frac {df（t）} {dt}$	sF（s）-f（0）
N番目の派生	$\ frac {d ^ nf（t）} {dt ^ n}$	s ⁿ f（s）-s ^{n -1}f（0）-s ^{n -2}f '（0）-...- f ^{（n -1）}（0）
力	t ⁿ f（t）	$（-1）^ n \ frac {d ^ nF（s）} {ds ^ n}$
統合	$\ int_ {0} ^ {t} f（x）dx$	$\ frac {1} {s} F（s）$
相互	$\ frac {1} {t} f（t）$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F（x）dx$
畳み込み	f（t）* g（t）	F（s）・G（s）	*は畳み込み演算子です
周期関数	f（t）= f（t + T）	$\ frac {1} {1-e ^ {-sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {-sx} f（x）dx$