व्युत्पन्न नियम

व्युत्पन्न नियम आणि कायदे. फंक्शन्स टेबलचे डेरिव्हेटिव्ह्ज.

व्युत्पन्न व्याख्या

फंक्शनचे व्युत्पन्न हे बिंदू x + Δx आणि x सह xx सह फंक्शन व्हॅल्यू एफ (एक्स) च्या फरकचे गुणोत्तर असते, जेव्हा infx अनंतच लहान असते. व्युत्पन्न बिंदू x वरील टेंगेंट लाइनचा फंक्शन उतार किंवा उतार आहे.

 

f '(x) = \ लिम _ {\ डेल्टा x \ ते 0} \ frac {f (x + \ डेल्टा x) -f (x)} {\ डेल्टा x}

द्वितीय व्युत्पन्न

द्वितीय व्युत्पन्न दिले आहेः

किंवा फक्त प्रथम व्युत्पन्न:

f '' (x) = (f '(x))'

Nth व्युत्पन्न

N व्या साधित f (x) एन वेळा असत करून गणना केली जाते.

N व्या भैदिज आहे (n-1) साधित व्युत्पन्न तुलना:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

उदाहरणः

चा चौथा व्युत्पन्न शोधा

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' '= [40 x 3 ]' '= [120 x 2 ]' = 240 x

फंक्शनच्या आलेखावर व्युत्पन्न

फंक्शनचे व्युत्पन्न म्हणजे स्पर्शिका रेषाचा उतार.

व्युत्पन्न नियम

व्युत्पन्न योग नियम

( एएफ ( एक्स ) + बीजी ( एक्स )) '= एफ' ( एक्स ) + बीजी ' ( एक्स )

व्युत्पन्न उत्पादनाचा नियम

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

व्युत्पन्न भागांचा नियम \ डावा (\ frac {f (x)} {g (x)} \ उजवा) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}
व्युत्पन्न साखळी नियम

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

व्युत्पन्न योग नियम

जेव्हा आणि स्थिर असतात.

( एएफ ( एक्स ) + बीजी ( एक्स )) '= एफ' ( एक्स ) + बीजी ' ( एक्स )

उदाहरणः

चे व्युत्पन्न शोधा:

3 x 2 + 4 x

बेरीज नियमानुसारः

a = 3, बी = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

व्युत्पन्न उत्पादनाचा नियम

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

व्युत्पन्न भागांचा नियम

\ डावा (\ frac {f (x)} {g (x)} \ उजवा) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

व्युत्पन्न साखळी नियम

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

हा नियम लाग्रेंजच्या नोटेशनसह अधिक चांगल्या प्रकारे समजू शकतो:

rac frac {df} {dx} = \ frac {df} g dg} d cdot \ frac {dg} {dx}

फंक्शन रेषीय अंदाजे

लहान Δx साठी, आम्हाला f (x 0 + Δx) चे जवळपास मिळू शकते , जेव्हा आपल्याला f (x 0 ) आणि f '(x 0 ) माहित असते :

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

फंक्शन्स टेबलचे डेरिव्हेटिव्ह्ज

कार्य नाव कार्य व्युत्पन्न

f ( x )

f '( x )
सतत

कॉन्स

0

रेखीय

x

1

शक्ती

x

कुर्हाड a- 1

घातांकीय

एक्स

एक्स

घातांकीय

एक x

एक एक्स एलएन

नैसर्गिक लॉगरिदम

एलएन ( एक्स )

लोगारिदम

लॉग ( x )

साईन

sin x

कॉक्स एक्स

कोझिन

कॉक्स एक्स

-सिन x

स्पर्शिका

टॅन एक्स

आर्केसिन

आर्क्सिन एक्स

आर्कोझिन

आर्ककोस एक्स

आर्क्टेंजंट

आर्कटान x

हायपरबोलिक साइन

sinh x

कॉश एक्स

हायपरबोलिक कोसाइन

कॉश एक्स

sinh x

हायपरबोलिक टॅन्जेन्ट

तान्ह x

व्यस्त हायपरबोलिक साइन

sinh -1 x

व्यस्त हायपरबोलिक कोसाइन

कोश -1 x

व्यस्त हायपरबोलिक स्पर्शिका

तान्ह -1 x

व्युत्पन्न उदाहरणे

उदाहरण # 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

उदाहरण # 2

f ( x ) = sin (3 x 2 )

साखळी नियम लागू करताना:

f ' ( x ) = कॉस (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = कॉस (3 x 2 ) ⋅ 6 x

दुसरी साधित चाचणी

जेव्हा कार्याचे प्रथम व्युत्पन्न बिंदू x 0 वर शून्य असते .

f '( x 0 ) = 0

तर बिंदू x 0 , f '' (x 0 ) वरील दुसरा व्युत्पन्न त्या बिंदूचा प्रकार दर्शवू शकतोः

 

f '' ( x 0 )/ 0

स्थानिक किमान

f '' ( x 0 ) <0

स्थानिक कमाल

f '' ( x 0 ) = 0

निर्धारित

 


हे देखील पहा

कॅल्कुलस
वेगवान सारण्या