लॅपलेस ट्रान्सफॉर्म

लॅपलेस शून्यापासून अनंतमध्ये समाकलित करून टाइम डोमेन फंक्शनला एस-डोमेन फंक्शनमध्ये रुपांतरित करते

 वेळ डोमेन कार्याचे, ई- गुणाद्वारे गुणाकार .

लॅपलेस ट्रान्सफॉर्मचा उपयोग वेगळ्या समीकरणे आणि अविभाज्य द्रुतपणे निराकरण करण्यासाठी केला जातो.

टाईम डोमेनमधील व्युत्पत्ती एस-डोमेनमधील गुणामध्ये रुपांतरित केली जाते.

टाईम डोमेनमधील एकत्रीकरणाद्वारे एस-डोमेनमधील विभागणीत रूपांतरित होते.

लॅपलेस ट्रान्सफॉर्म फंक्शन

लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म एल lace {ऑपरेटरसह परिभाषित केले आहे :

एफ (एस) = \ मॅथकॅल {एल} \ डावे \ {एफ (टी) \ राइट \} = \ इंट_ {०} ^ {\ इन्फ्टी} ई ^ {- एसटी} एफ (टी) दि.

व्यस्त लॅपलेस ट्रान्सफॉर्म

व्यस्त लॅपलेस ट्रान्सफॉर्मची गणना थेट केली जाऊ शकते.

सहसा ट्रान्सफॉर्म टेबलमधून व्यस्त ट्रान्सफॉर्म दिले जाते.

लॅपलेस ट्रान्सफॉर्म टेबल

कार्य नाव वेळ डोमेन कार्य लॅपलेस ट्रान्सफॉर्म

( टी )

फॅ ( एस ) = एल { एफ ( टी )}

सतत 1 rac frac {1} {s}
रेखीय टी rac frac {1} {s ^ 2}
शक्ती

टी एन

rac frac {n!} {s ^ {n + 1}

शक्ती

टी a

Γ ( a +1) - s - ( a +1)

घातांक

येथे

rac frac {1} {sa}

साईन

येथे पाप

rac frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

कोझिन

कॉस येथे

rac frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

हायपरबोलिक साइन

sinh at

rac frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

हायपरबोलिक कोसाइन

सोटा येथे

rac frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

वाढता साईन

टी येथे पाप

rac frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2

वाढणारी कोसाइन

टी कॉस येथे

rac frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2

क्षय करणारा साईन

-ॅट पाप ωt

rac frac {\ ओमेगा} {\ डावीकडे (s + a \ उजवीकडे) + 2 + \ ओमेगा ^ 2}

क्षय कोसाइन

-at cos ωt

rac frac {s + a} {\ डावीकडे (s + a \ उजवीकडे) + 2 + \ ओमेगा ^ 2}

डेल्टा फंक्शन

t ( टी )

1

विलंबित डेल्टा

δ ( टा )

e -as

लॅपलेस ट्रान्सफॉर्म गुणधर्म

मालमत्तेचे नाव वेळ डोमेन कार्य लॅपलेस ट्रान्सफॉर्म टिप्पणी
 

( टी )

फॅ ( एस )

 
रेषात्मकता एएफ ( टी ) + बीजी ( टी ) AF ( s ) + बीजी ( s ) , स्थिर आहेत
स्केल बदल f ( at ) rac frac {1} {a} F \ डावीकडे (\ frac {s} {a} \ उजवीकडे) a / 0
शिफ्ट e -at f ( t ) फॅ ( एस + )  
विलंब ( टा ) - म्हणून फॅ ( s )  
व्युत्पन्न rac frac {df (t) {{dt एसएफ ( एस ) - एफ (0)  
एन-व्या व्युत्पन्न rac frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
शक्ती टी एन एफ ( टी ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
एकत्रीकरण \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx rac frac {1} {s} F (s)  
परस्पर rac frac {1} {t} f (t) \ इंट_ {एस} ^ {\ इन्फ्टी} एफ (एक्स) डीएक्स  
कन्व्होल्यूशन f ( t ) * g ( t ) फॅ ( एस ) ⋅ जी ( एस ) * हे कॉन्व्होल्यूशन ऑपरेटर आहे
नियतकालिक कार्य f ( t ) = f ( t + T ) rac frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

लॅपलेस रूपांतरित उदाहरणे

उदाहरण # 1

F (टी) चे रूपांतर शोधा:

f ( t ) = 3 टी + 2 टी 2

उपाय:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

फॅ ( एस ) = ℒ { एफ ( टी )} = ℒ {3 टी + २ टी } = ℒℒ { टी } + २ℒ { टी } = / / एस + / / एस 3

 

उदाहरण # 2

F (र्स) चे व्यस्त ट्रान्सफॉर्म शोधा:

फॅ ( एस ) = 3 / ( से 2 + एस - 6)

उपाय:

व्यस्त ट्रान्सफॉर्म शोधण्यासाठी आम्हाला डोमेनचे कार्य सोप्या स्वरूपात बदलण्याची आवश्यकता आहे:

एफ ( एस ) = 3 / ( एस 2 + एस - 6) = 3 / [( एस -2) ( एस +3)] = / ( एस -२) + बी / ( एस +3)

[ ( एस +3) + बी ( एस -२)] / [( एस -२) ( एस +3)] = / / [( एस -२) ( एस +3)]

a ( s +3) + बी ( एस -2) = 3

अ आणि बी शोधण्यासाठी आम्हाला २ समीकरणे मिळतात - एस गुणांकांपैकी एक आणि उर्वरित दुसरी:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

+ बी = ०, a अ -२ बी =.

a = 3/5, बी = -3/5

फॅ ( एस ) = 3/5 ( एस -2) - 3/5 ( एस +3)

घातांक कार्यासाठी ट्रान्सफॉर्म टेबल वापरुन आता F (s) चे सहज बदल केले जाऊ शकते:

एफ ( टी ) = (3/5) 2 टी - (3/5) -3 टी

 


हे देखील पहा

कॅल्कुलस
वेगवान सारण्या