Afgeleide regels

Afgeleide regels en wetten. Afgeleide functietabel.

Afgeleide definitie
Afgeleide regels
Afgeleide functietabel
Afgeleide voorbeelden

Afgeleide definitie

De afgeleide van een functie is de verhouding van het verschil van functiewaarde f (x) op punten x + Δx en x met Δx, wanneer Δx oneindig klein is. De afgeleide is de functiehelling of helling van de raaklijn op punt x.

$f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ tot 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}$

Tweede afgeleide

De tweede afgeleide wordt gegeven door:

Of leid eenvoudig de eerste afgeleide af:

N-de afgeleide

De n- th derivaat wordt berekend door het afleiden f (x) n maal.

De n de afgeleide is gelijk aan de afgeleide van de (n-1) afgeleide:

f ^{( n )} ( x ) = [ f ^{( n -1)} ( x )] '

Voorbeeld:

Zoek de vierde afgeleide van

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

Afgeleide op grafiek van functie

De afgeleide van een functie is de helling van de tangentiële lijn.

Afgeleide regels

Afgeleide som regel	( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )
Afgeleide productregel	( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )
Afgeleide quotiëntregel	$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}$
Afgeleide kettingregel	f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Afgeleide som regel

Als a en b constanten zijn.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Voorbeeld:

Zoek de afgeleide van:

3 x ² + 4 x.

Volgens de somregel:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x ² + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Afgeleide productregel

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Afgeleide quotiëntregel

$\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}$

Afgeleide kettingregel

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Deze regel kan beter worden begrepen met de notatie van Lagrange:

$\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}$

Functie lineaire benadering

Voor kleine Δx kunnen we een benadering krijgen van f (x ₀ + Δx), als we f (x ₀ ) en f '(x ₀ ) kennen:

f ( x ₀ + Δ X ) ≈ f ( x ₀ ) + f '( x ₀ ) ⋅Δ x

Afgeleide functietabel

Functienaam	Functie	Derivaat
Functienaam	f ( x )	f '( x )
Constante	const	0
Lineair	x	1
Kracht	x ^een	bijl ^a-¹
Exponentieel	e ^x	e ^x
Exponentieel	een ^x	een ^x ln een
Natuurlijke logaritme	ln ( x )
Logaritme	log _b ( x )
Sinus	zonde x	cos x
Cosinus	cos x	-sin x
Raaklijn	bruin x
Arcsine	arcsin x
Arccosine	arccos x
Arctangens	arctan x
Hyperbolische sinus	sinh x	cosh x
Hyperbolische cosinus	cosh x	sinh x
Hyperbolische tangens	tanh x
Inverse hyperbolische sinus	sinh ^-1 x
Inverse hyperbolische cosinus	cosh ^-1 x
Inverse hyperbolische tangens	tanh ^-1 x