Laplace Transform

Laplace-transform konverterer en tidsdomene-funksjon til s-domene-funksjon ved integrering fra null til uendelig

 av tidsdomenefunksjonen, multiplisert med e -st .

Laplace-transformasjonen brukes til raskt å finne løsninger for differensialligninger og integraler.

Derivasjon i tidsdomenet transformeres til multiplikasjon med s i s-domene.

Integrasjon i tidsdomenet transformeres til divisjon av s i s-domene.

Laplace transform-funksjon

Laplace-transformasjonen er definert med L {} -operatøren:

F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Invers Laplace-transform

Den omvendte Laplace-transformasjonen kan beregnes direkte.

Vanligvis er den omvendte transformasjonen gitt fra transformasjonstabellen.

Laplace transformasjonsbord

Funksjonsnavn Tidsdomenefunksjon Laplace transform

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Konstant 1 \ frac {1} {s}
Lineær t \ frac {1} {s ^ 2}
Makt

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Makt

t a

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)

Eksponent

e kl

\ frac {1} {sa}

Sine

synd

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Cosine

cos kl

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Hyperbolisk sinus

sinh kl

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Hyperbolisk cosinus

kos

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Voksende sinus

t synd

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Voksende cosinus

t cos at

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Råtnende sinus

e -at sin ωt

\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Råtnende cosinus

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Delta-funksjon

δ ( t )

1

Forsinket delta

δ ( ta )

e -as

Laplace-transformasjonsegenskaper

Eiendomsnavn Tidsdomenefunksjon Laplace transform Kommentar
 

f ( t )

F ( s )

 
Lineæritet af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b er konstante
Skalaendring f ( kl ) \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right) a / 0
Skifte e -at f ( t ) F ( s + a )  
Forsinkelse f ( ta ) e - som F ( s )  
Derivasjon \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
N-avledning \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Makt t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Integrering \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (s)  
Gjensidig \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Konvolusjon f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * er konvolusjonsoperatøren
Periodisk funksjon f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Eksempler på Laplace-transform

Eksempel 1

Finn transformasjonen av f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Løsning:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

Eksempel 2

Finn den omvendte transformasjonen av F (s):

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Løsning:

For å finne den omvendte transformasjonen, må vi endre s domenefunksjon til en enklere form:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

For å finne a og b får vi to ligninger - en av koeffisientene og den andre av resten:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Nå kan F (s) transformeres enkelt ved å bruke transformasjonstabellen for eksponentfunksjon:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


Se også

KALKULUS
RAPID BORD