Reguły pochodne

Pochodne reguły i prawa. Pochodne tabeli funkcji.

Definicja pochodna

Pochodna funkcji jest stosunkiem różnicy wartości funkcji f (x) w punktach x + Δx ix z Δx, gdy Δx jest nieskończenie mała. Pochodna jest funkcją nachylenia lub nachylenia stycznej w punkcie x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Druga pochodna

Drugą pochodną jest:

Lub po prostu wyprowadź pierwszą pochodną:

f '' (x) = (f '(x))'

N-ta pochodna

N p pochodnej jest obliczana poprzez wyprowadzenie F (x) n razy.

Gdy n TH pochodne równej pochodna (n-1), pochodną:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] ”

Przykład:

Znajdź czwartą pochodną funkcji

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' '= [40 x 3 ]' '= [120 x 2 ]' = 240 x

Pochodna na wykresie funkcji

Pochodną funkcji jest nachylenie linii stycznej.

Reguły pochodne

Reguła sum pochodnych

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Reguła iloczynu pochodnego

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Reguła pochodna ilorazu \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}
Reguła łańcucha pochodnego

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Reguła sum pochodnych

Gdy a i b są stałymi.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Przykład:

Znajdź pochodną:

3 x 2 + 4 x.

Zgodnie z zasadą sumy:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Reguła iloczynu pochodnego

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Reguła pochodna ilorazu

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

Reguła łańcucha pochodnego

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Tę regułę można lepiej zrozumieć za pomocą notacji Lagrange'a:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Aproksymacja liniowa funkcji

Dla małego Δx możemy uzyskać przybliżenie do f (x 0 + Δx), gdy znamy f (x 0 ) if '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Pochodne tabeli funkcji

Nazwa funkcji Funkcjonować Pochodna

f ( x )

f '( x )
Stały

konst

0

Liniowy

x

1

Moc

x a

topór a- 1

Wykładniczy

e x

e x

Wykładniczy

a x

a x ln a

Naturalny logarytm

ln ( x )

Logarytm

log b ( x )

Sinus

sin x

cos x

Cosinus

cos x

-sin x

Tangens

tan x

Arcsine

arcsin x

Arccosine

arccos x

Arctangent

arctan x

Sinus hiperboliczny

sinh x

cosh x

Cosinus hiperboliczny

cosh x

sinh x

Styczna hiperboliczna

tanh x

Odwrotny sinus hiperboliczny

sinh -1 x

Odwrotny cosinus hiperboliczny

cosh -1 x

Odwrotna styczna hiperboliczna

tanh -1 x

Pochodne przykłady

Przykład 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Przykład nr 2

f ( x ) = sin (3 x 2 )

Stosując regułę łańcucha:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Test drugiej pochodnej

Gdy pierwsza pochodna funkcji wynosi zero w punkcie x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Wtedy druga pochodna w punkcie x 0 , f '' (x 0 ), może wskazywać na typ tego punktu:

 

f '' ( x 0 )/ 0

minimum lokalne

f '' ( x 0 ) <0

lokalne maksimum

f '' ( x 0 ) = 0

nieokreślony

 


Zobacz też

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
SZYBKIE STOŁY