Transformata Laplace'a

Transformata Laplace'a konwertuje funkcję w dziedzinie czasu na funkcję w dziedzinie s przez całkowanie od zera do nieskończoności

 funkcji w dziedzinie czasu pomnożonej przez e- st .

Transformata Laplace'a służy do szybkiego znajdowania rozwiązań równań różniczkowych i całek.

Wyprowadzenie w dziedzinie czasu przekształca się w pomnożenie przez sw dziedzinie s.

Całkowanie w dziedzinie czasu jest przekształcane w dzielenie przez s w dziedzinie s.

Funkcja transformaty Laplace'a

Transformatę Laplace'a definiuje się za pomocą operatora L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Odwrotna transformata Laplace'a

Odwrotną transformatę Laplace'a można obliczyć bezpośrednio.

Zwykle transformacja odwrotna jest podawana z tabeli przekształceń.

Tabela transformacji Laplace'a

Nazwa funkcji Funkcja w dziedzinie czasu Transformata Laplace'a

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Stały 1 \ frac {1} {s}
Liniowy t \ frac {1} {s ^ 2}
Moc

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Moc

t a

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)

Wykładnik potęgowy

e w

\ frac {1} {sa}

Sinus

grzech w

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Cosinus

cos w

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Sinus hiperboliczny

sinh at

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Cosinus hiperboliczny

cosh w

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Rosnący sinus

t sin w

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Rosnący cosinus

t cos w

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Rozkładający się sinus

e -w sin ωt

\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Rozkładający się cosinus

e -w cos ωt

\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Funkcja delta

δ ( t )

1

Delta opóźniona

δ ( ta )

e -as

Właściwości transformaty Laplace'a

Nazwa właściwości Funkcja w dziedzinie czasu Transformata Laplace'a Komentarz
 

f ( t )

F ( s )

 
Liniowość af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b są stałe
Zmiana skali f ( małpa ) \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right) a / 0
Zmiana e -at f ( t ) F ( s + a )  
Opóźnienie f ( ta ) e - jak F ( s )  
Pochodzenie \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
N-ta wyprowadzenie \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Moc t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Integracja \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (s)  
Odwrotność \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Skręt f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * jest operatorem splotu
Funkcja okresowa f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Przykłady transformacji Laplace'a

Przykład 1

Znajdź transformację f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Rozwiązanie:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

Przykład nr 2

Znajdź odwrotną transformację F (s):

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Rozwiązanie:

Aby znaleźć transformację odwrotną, musimy zmienić funkcję domeny s na prostszą postać:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Aby znaleźć a i b, otrzymujemy 2 równania - jeden ze współczynników s i drugi z pozostałych:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Teraz F (s) można łatwo przekształcić, używając tabeli przekształceń dla funkcji wykładniczej:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


Zobacz też

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
SZYBKIE STOŁY