Para mudar a base de b para c, podemos usar a regra de mudança de logaritmo da base. O logaritmo de base b de x é igual ao logaritmo de base c de x dividido pelo logaritmo de base c de b:
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
log 2 (100) = log 10 (100) / log 10 (2) = 2 / 0,30103 = 6,64386
log 3 (50) = log 8 (50) / log 8 (3) = 1,8812853 / 0,5283208 = 3,5608766
Elevando b com a potência do logaritmo de base b de x dá x:
(1) x = b log b ( x )
Elevando c com a potência do logaritmo de base c de b resulta em b:
(2) b = c log c ( b )
Quando pegamos (1) e substituímos b por c log c ( b ) (2), obtemos:
(3) x = b log b ( x ) = ( c log c ( b ) ) log b ( x ) = c log c ( b ) × log b ( x )
Ao aplicar log c () em ambos os lados de (3):
log c ( x ) = log c ( c log c ( b ) × log b ( x ) )
Ao aplicar a regra de potência do logaritmo :
log c ( x ) = [log c ( b ) × log b ( x )] × log c ( c )
Uma vez que log c ( c ) = 1
log c ( x ) = log c ( b ) × log b ( x )
Ou
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )