Regras de logaritmo
O logaritmo de base b de um número é o expoente de que precisamos para aumentar a base a fim de obter o número.
- Definição de logaritmo
- Regras de logaritmo
- Problemas de logaritmo
- Logaritmo complexo
- Gráfico de log (x)
- Tabela de logaritmo
- Calculadora logaritmo
Definição de logaritmo
Quando b é elevado à potência de y é igual a x:
b y = x
Então, o logaritmo de base b de x é igual ay:
log b ( x ) = y
Por exemplo, quando:
2 4 = 16
Então
log 2 (16) = 4
Logaritmo como função inversa da função exponencial
A função logarítmica,
y = log b ( x )
é a função inversa da função exponencial,
x = b y
Portanto, se calcularmos a função exponencial do logaritmo de x (x/ 0),
f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x
Ou se calcularmos o logaritmo da função exponencial de x,
f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x
Logaritmo natural (ln)
O logaritmo natural é um logaritmo para a base e:
ln ( x ) = log e ( x )
Quando e constante é o número:
ou
Veja: Logaritmo natural
Cálculo de logaritmo inverso
O logaritmo inverso (ou anti logaritmo) é calculado elevando a base b ao logaritmo y:
x = log -1 ( y ) = b y
Função logarítmica
A função logarítmica tem a forma básica de:
f ( x ) = log b ( x )
Regras de logaritmo
| Nome da regra | Regra |
|---|---|
Regra de produto logarítmico |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
Regra do quociente logarítmico |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
Regra de poder logaritmo |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
Regra de mudança de base logarítmica |
log b ( c ) = 1 / log c ( b ) |
Regra de mudança de base de logaritmo |
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b ) |
Derivada do logaritmo |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b )) |
Integral de logaritmo |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C |
Logaritmo de número negativo |
log b ( x ) é indefinido quando x ≤ 0 |
Logaritmo de 0 |
log b (0) é indefinido |
 |
|
Logaritmo de 1 |
log b (1) = 0 |
Logaritmo da base |
log b ( b ) = 1 |
Logaritmo do infinito |
lim log b ( x ) = ∞, quando x → ∞ |
Veja: Regras de logaritmo
Regra de produto logarítmico
O logaritmo da multiplicação de xey é a soma do logaritmo de xe logaritmo de y.
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Por exemplo:
log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)
Regra do quociente logarítmico
O logaritmo da divisão de xey é a diferença do logaritmo de xe logaritmo de y.
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Por exemplo:
log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)
Regra de poder logaritmo
O logaritmo de x elevado à potência de y é y vezes o logaritmo de x.
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Por exemplo:
log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)
Regra de mudança de base logarítmica
O logaritmo de base b de c é 1 dividido pelo logaritmo de base c de b.
log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Por exemplo:
log 2 (8) = 1 / log 8 (2)
Regra de mudança de base de logaritmo
O logaritmo de base b de x é o logaritmo de base c de x dividido pelo logaritmo de base c de b.
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Por exemplo, para calcular o log 2 (8) na calculadora, precisamos mudar a base para 10:
log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)
Veja: regra de mudança de base de log
Logaritmo de número negativo
O logaritmo real de base b de x quando x <= 0 é indefinido quando x é negativo ou igual a zero:
log b ( x ) é indefinido quando x ≤ 0
Veja: log do número negativo
Logaritmo de 0
O logaritmo de base b de zero é indefinido:
log b (0) é indefinido
O limite do logaritmo de base b de x, quando x se aproxima de zero, é menos infinito:
Veja: log de zero
Logaritmo de 1
O logaritmo de base b de um é zero:
log b (1) = 0
Por exemplo, o logaritmo de base dois de um é zero:
log 2 (1) = 0
Veja: log de um
Logaritmo do infinito
O limite do logaritmo de base b de x, quando x se aproxima do infinito, é igual ao infinito:
lim log b ( x ) = ∞, quando x → ∞
Veja: log do infinito
Logaritmo da base
O logaritmo de base b de b é um:
log b ( b ) = 1
Por exemplo, o logaritmo de base dois de dois é um:
log 2 (2) = 1
Derivada de logaritmo
Quando
f ( x ) = log b ( x )
Então, a derivada de f (x):
f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Veja: derivada de log
Logaritmo integral
A integral do logaritmo de x:
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Por exemplo:
∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C
Aproximação de logaritmo
log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),
Logaritmo complexo
Para número complexo z:
z = re iθ = x + iy
O logaritmo complexo será (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):
Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))
Problemas de logaritmo e respostas
Problema # 1
Encontre x para
log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2
Solução:
Usando a regra do produto:
log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2
Alterar a forma do logaritmo de acordo com a definição do logaritmo:
x ∙ ( x -3) = 2 2
Ou
x 2 -3 x -4 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1
Como o logaritmo não é definido para números negativos, a resposta é:
x = 4
Problema # 2
Encontre x para
log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2
Solução:
Usando a regra de quociente:
log 3 (( x +2) / x ) = 2
Alterar a forma do logaritmo de acordo com a definição do logaritmo:
( x +2) / x = 3 2
Ou
x +2 = 9 x
Ou
8 x = 2
Ou
x = 0,25
Gráfico de log (x)
log (x) não é definido para valores reais não positivos de x:
Tabela de logaritmos
| x | log 10 x | log 2 x | log e x |
|---|---|---|---|
| 0 | Indefinido | Indefinido | Indefinido |
| 0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
| 0,0001 | -4 | -13,287712 | -9,210340 |
| 0,001 | -3 | -9,965784 | -6,907755 |
| 0,01 | -2 | -6,643856 | -4,605170 |
| 0,1 | -1 | -3,321928 | -2,302585 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0,301030 | 1 | 0,693147 |
| 3 | 0,477121 | 1,584963 | 1.098612 |
| 4 | 0,602060 | 2 | 1.386294 |
| 5 | 0,698970 | 2,321928 | 1,609438 |
| 6 | 0,778151 | 2,584963 | 1,791759 |
| 7 | 0,845098 | 2.807355 | 1.945910 |
| 8 | 0,903090 | 3 | 2.079442 |
| 9 | 0,954243 | 3,169925 | 2,197225 |
| 10 | 1 | 3,321928 | 2,302585 |
| 20 | 1,301030 | 4,321928 | 2,995732 |
| 30 | 1.477121 | 4,906891 | 3,401197 |
| 40 | 1,602060 | 5,321928 | 3,688879 |
| 50 | 1.698970 | 5,643856 | 3,912023 |
| 60 | 1.778151 | 5,906991 | 4.094345 |
| 70 | 1,845098 | 6,129283 | 4.248495 |
| 80 | 1,903090 | 6,321928 | 4.382027 |
| 90 | 1.954243 | 6,491853 | 4,499810 |
| 100 | 2 | 6,643856 | 4,605170 |
| 200 | 2,301030 | 7,643856 | 5,298317 |
| 300 | 2.477121 | 8,228819 | 5,703782 |
| 400 | 2,602060 | 8,643856 | 5,991465 |
| 500 | 2.698970 | 8.965784 | 6,214608 |
| 600 | 2.778151 | 9.228819 | 6,396930 |
| 700 | 2,845098 | 9,451211 | 6,551080 |
| 800 | 2,903090 | 9,643856 | 6,684612 |
| 900 | 2,954243 | 9,813781 | 6,802395 |
| 1000 | 3 | 9,965784 | 6,907755 |
| 10.000 | 4 | 13,287712 | 9.210340 |
Veja também
- Regras de logaritmo
- Mudança de logaritmo de base
- Logaritmo de zero
- Logaritmo de um
- Logaritmo do infinito
- Logaritmo de número negativo
- Calculadora logaritmo
- Gráfico de logaritmo
- Tabela de logaritmo
- Calculadora de logaritmo natural
- Logaritmo natural - ln x
- e constante
- Decibel (dB)