Transformarea Laplace

Transformarea Laplace convertește o funcție de domeniu de timp în funcție de domeniu s prin integrare de la zero la infinit

 a funcției domeniului timp, înmulțit cu e -st .

Transformata Laplace este utilizată pentru a găsi rapid soluții pentru ecuații diferențiale și integrale.

Derivarea în domeniul timpului este transformată în multiplicare cu s în domeniul s.

Integrarea în domeniul timpului este transformată în divizare cu s în domeniul s.

Funcția de transformare Laplace

Transformata Laplace este definită cu operatorul L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Transformarea Laplace inversă

Transformata Laplace inversă poate fi calculată direct.

De obicei transformarea inversă este dată din tabelul de transformări.

Masa transformată Laplace

Numele funcției Funcția domeniului timp Transformarea Laplace

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Constant 1 \ frac {1} {s}
Liniar t \ frac {1} {s ^ 2}
Putere

t n

\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}

Putere

t a

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)

Exponent

e la

\ frac {1} {sa}

Sinus

păcatul la

\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}

Cosinus

cos at

\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Sinus hiperbolic

sinh at

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Cosinus hiperbolic

cosh la

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Sinus în creștere

t păcat la

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Cosinus în creștere

t cos at

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Sinus în descompunere

e -at sin ωt

\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Cosinus în descompunere

e -at cos ωt

\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Funcția Delta

δ ( t )

1

Delta întârziată

δ ( ta )

e -as

Proprietățile transformatei Laplace

Numele proprietatii Funcția domeniului timp Transformarea Laplace cometariu
 

f ( t )

F ( e )

 
Liniaritatea af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b sunt constante
Schimbarea scalei f ( la ) \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right) a / 0
Schimb e -at f ( t ) F ( s + a )  
Întârziere f ( ta ) e - ca F ( e )  
Derivare \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
Derivația a N-a \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Putere t n f ( t ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Integrare \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (s)  
Reciproc \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Convoluţie f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * este operatorul de convoluție
Funcția periodică f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Exemple de transformate Laplace

Exemplul nr. 1

Găsiți transformarea lui f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Soluţie:

ℒ { t } = 1 / s 2

ℒ { t 2 } = 2 / s 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

Exemplul nr. 2

Găsiți transformarea inversă a lui F (s):

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6)

Soluţie:

Pentru a găsi transformarea inversă, trebuie să schimbăm funcția domeniului s într-o formă mai simplă:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

a ( s +3) + b ( s -2) = 3

Pentru a găsi a și b, obținem 2 ecuații - unul dintre coeficienții s și al doilea din restul:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

a + b = 0, 3 a -2 b = 3

a = 3/5, b = -3/5

F ( s ) = 3/5 ( s -2) - 3/5 ( s +3)

Acum F (s) poate fi transformat cu ușurință utilizând tabelul de transformări pentru funcția exponent:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


Vezi si

CALCUL
MESE RAPIDE