Производные правила

Производные правила и законы. Таблица производных функций.

Производное определение

Производная функции - это отношение разности значений функции f (x) в точках x + Δx и x к Δx, когда Δx бесконечно мало. Производная - это наклон функции или наклон касательной в точке x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Вторая производная

Вторая производная определяется по формуле:

Или просто выведите первую производную:

е '' (х) = (е '(х))'

N-я производная

Производная n вычисляется путем вычисления f (x) n раз.

В п - е производная равна производной от (п-1) производное:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Пример:

Найдите четвертую производную от

е ( х ) = 2 х 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' '= [40 x 3 ]' '= [120 x 2 ]' = 240 x

Производная на графике функции

Производная функции - это наклон касательной прямой.

Производные правила

Правило производной суммы

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Правило производного продукта

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Правило производного частного \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( Икс)}
Правило производной цепочки

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Правило производной суммы

Когда a и b постоянные.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Пример:

Найдите производную от:

3 х 2 + 4 х.

Согласно правилу сумм:

а = 3, б = 4

е ( х ) = х 2 , g ( х ) = х

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 х 2 + 4 х ) '= 3⋅2 х + 4⋅1 = 6 х + 4

Правило производного продукта

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Правило производного частного

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( Икс)}

Правило производной цепочки

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Это правило можно лучше понять с помощью обозначений Лагранжа:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Функция линейной аппроксимации

Для малых Δx мы можем получить приближение к f (x 0 + Δx), когда мы знаем f (x 0 ) и f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Таблица производных функций

Название функции Функция Производная

f ( x )

f '( x )
Постоянный

const

0

Линейный

х

1

Сила

х а

топор а- 1

Экспоненциальный

e x

e x

Экспоненциальный

а х

a x ln a

Натуральный логарифм

ln ( x )

Логарифм

журнал b ( x )

Синус

грех х

cos x

Косинус

cos x

-sin x

Касательная

загар х

Арксинус

arcsin x

Арккосин

arccos x

Арктангенс

arctan x

Гиперболический синус

зп х

cosh x

Гиперболический косинус

cosh x

зп х

Гиперболический тангенс

tanh x

Обратный гиперболический синус

sh -1 x

Обратный гиперболический косинус

cosh -1 x

Обратный гиперболический тангенс

танх -1 х

Производные примеры

Пример # 1

е ( х ) = х 3 +5 х 2 + х +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Пример # 2

е ( х ) = грех (3 х 2 )

При применении цепного правила:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Тест второй производной

Когда первая производная функции равна нулю в точке x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Тогда вторая производная в точке x 0 , f '' (x 0 ), может указывать на тип этой точки:

 

f '' ( x 0 )/ 0

местный минимум

f '' ( х 0 ) <0

локальный максимум

f '' ( х 0 ) = 0

неопределенный

 


Смотрите также

ИСЧИСЛЕНИЕ
БЫСТРЫЕ ТАБЛИЦЫ