Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа преобразует функцию временной области в функцию s-области путем интегрирования от нуля до бесконечности

 функции во временной области, умноженной на e -st .

Преобразование Лапласа используется для быстрого поиска решений дифференциальных уравнений и интегралов.

Вывод во временной области преобразуется в умножение на s в s-области.

Интеграция во временной области трансформируется в деление на s в s-области.

Функция преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа определяется оператором L {}:

F (s) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt

Обратное преобразование Лапласа

Обратное преобразование Лапласа можно вычислить напрямую.

Обычно обратное преобразование дается из таблицы преобразований.

Таблица преобразования Лапласа

Название функции Функция во временной области Преобразование Лапласа

f ( t )

F ( s ) = L { f ( t )}

Постоянный 1 \ frac {1} {s}
Линейный т \ frac {1} {s ^ 2}
Сила

т н

\ гидроразрыва {п!} {s ^ {n + 1}}

Сила

т а

Γ ( a +1) ⋅ s - ( a +1)

Экспонента

е в

\ frac {1} {sa}

Синус

грешить на

\ гидроразрыва {а} {s ^ 2 + a ^ 2}

Косинус

потому что в

\ гидроразрыва {s} {s ^ 2 + a ^ 2}

Гиперболический синус

грех в

\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}

Гиперболический косинус

пижон в

\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}

Растущий синус

т грех в

\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Растущий косинус

t cos в

\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}

Затухающий синус

e -at sin ωt

\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Затухающий косинус

е -при соз ωt

\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}

Дельта-функция

δ ( t )

1

Отложенная дельта

δ ( та )

e -as

Свойства преобразования Лапласа

Имя свойства Функция во временной области Преобразование Лапласа Комментарий
 

f ( t )

F ( s )

 
Линейность af ( t ) + bg ( t ) aF ( s ) + bG ( s ) a , b постоянны
Изменение масштаба f ( at ) \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right) а / 0
сдвиг е -при е ( т ) F ( s + a )  
Задержка f ( ta ) e - как F ( s )  
Вывод \ frac {df (t)} {dt} sF ( s ) - f (0)  
N-я производная \ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n} s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0)  
Сила т н ф ( т ) (-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}  
Интеграция \ int_ {0} ^ {t} f (x) dx \ frac {1} {s} F (s)  
Взаимный \ frac {1} {t} f (t) \ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx  
Свертка f ( t ) * g ( t ) F ( s ) ⋅ G ( s ) * - оператор свертки
Периодическая функция f ( t ) = f ( t + T ) \ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx  

Примеры преобразования Лапласа

Пример # 1

Найдите преобразование f (t):

f ( t ) = 3 t + 2 t 2

Решение:

ℒ { t } = 1 / с 2

ℒ { t 2 } = 2 / с 3

F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3

 

Пример # 2

Найдите обратное преобразование F (s):

F ( с ) = 3 / ( с 2 + с - 6)

Решение:

Чтобы найти обратное преобразование, нам нужно изменить функцию области s на более простую форму:

F ( s ) = 3 / ( s 2 + s - 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)

[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]

а ( с +3) + b ( с -2) = 3

Чтобы найти a и b, мы получаем 2 уравнения - один из коэффициентов s и второй из остальных:

( a + b ) s + 3 a -2 b = 3

а + б = 0, 3 а -2 б = 3

а = 3/5, б = -3/5

F ( с ) = 3/5 ( с -2) - 3/5 ( с +3)

Теперь F (s) можно легко преобразовать, используя таблицу преобразований для функции экспоненты:

f ( t ) = (3/5) e 2 t - (3/5) e -3 t

 


Смотрите также

ИСЧИСЛЕНИЕ
БЫСТРЫЕ ТАБЛИЦЫ