Kvadratická rovnica

Kvadratická rovnica je polynóm druhého rádu s 3 koeficientmi - a , b , c .

Kvadratická rovnica je daná vzťahom:

sekera 2 + bx + c = 0

Riešenie kvadratickej rovnice je dané 2 číslami x 1 a x 2 .

Kvadratickú rovnicu môžeme zmeniť na formu:

( x - x 1 ) ( x - x 2 ) = 0

Kvadratický vzorec

Riešenie kvadratickej rovnice je dané kvadratickým vzorcom:

 

 

Výraz vo vnútri druhej odmocniny sa nazýva diskriminačný a je označený Δ:

Δ = b 2 - 4 ac

Kvadratický vzorec s diskriminačným zápisom:

Tento výraz je dôležitý, pretože nám môže povedať o riešení:

  • Keď Δ/ 0, existujú 2 skutočné korene x 1 = (- b + √ Δ ) / (2a) a x 2 = (- b-√ Δ ) / (2a) .
  • Keď Δ = 0, existuje jeden koreň x 1 = x 2 = -b / (2a) .
  • Keď Δ <0, neexistujú žiadne skutočné korene, sú 2 komplexné korene:
    x 1 = (- b + i√ ) / (2a) a x 2 = (- bi√ ) / (2a) .

Problém č. 1

3 x 2 +5 x +2 = 0

Riešenie:

a = 3, b = 5, c = 2

x 1,2 = (-5 ± √ (5 2 - 4 × 3 × 2)) / (2 × 3) = (-5 ± √ (25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6

x 1 = (-5 + 1) / 6 = -4/6 = -2/3

x 2 = (-5 - 1) / 6 = -6/6 = -1

Problém č. 2

3 x 2 -6 x +3 = 0

Riešenie:

a = 3, b = -6, c = 3

x 1,2 = (6 ± √ ((-6) 2 - 4 × 3 × 3)) / (2 × 3) = (6 ± √ (36-36)) / 6 = (6 ± 0) / 6

x 1 = x 2 = 1

Problém č. 3

x 2 + 2 x +5 = 0

Riešenie:

a = 1, b = 2, c = 5

x 1,2 = (-2 ± √ (2 2 - 4 × 1 × 5)) / (2 × 1) = (-2 ± √ (4-20)) / 2 = (-2 ± √ (-16) )) / 2

Skutočné riešenia neexistujú. Hodnoty sú komplexné čísla:

x 1 = -1 + 2 i

x 2 = -1 - 2 i

Graf kvadratickej funkcie

Kvadratická funkcia je polynomiálna funkcia druhého rádu:

f ( x ) = sekera 2 + bx + c

 

Riešením kvadratickej rovnice sú korene kvadratickej funkcie, ktoré sú priesečníkmi grafu kvadratickej funkcie s osou x, keď

f ( x ) = 0

 

Ak existujú 2 priesečníky grafu s osou x, existujú dve riešenia kvadratickej rovnice.

Ak je v grafe 1 priesečník grafu s osou x, existuje kvadratická rovnica v 1 riešení.

Keď neexistujú priesečníky grafu s osou x, nedostaneme reálne riešenia (alebo 2 komplexné riešenia).

 


Pozri tiež

ALGEBRA
RÝCHLE TABUĽKY