Prirodzený logaritmus - ln (x)

Prirodzený logaritmus je logaritmus k základu e čísla.

Definícia prirodzeného logaritmu

Kedy

e y = x

Potom základný e logaritmus x je

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

E konštantný alebo Eulerovo číslo je:

e ≈ 2,71828183

Ln ako inverzná funkcia exponenciálnej funkcie

Prirodzená logaritmická funkcia ln (x) je inverzná funkcia exponenciálnej funkcie e x .

Pre x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Alebo

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Pravidlá a vlastnosti prirodzeného logaritmu

Názov pravidla Pravidlo Príklad
Pravidlo produktu

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 7) = ln (3) + ln (7)

Pravidlo kvocientu

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)

Pravidlo moci

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ln (2)

derivát
f ( x ) = ln ( x ) f ' ( x ) = 1 / x  
ln integrál
ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
ln záporného čísla
ln ( x ) nie je definované, keď x ≤ 0  
nula nula
ln (0) je nedefinované  
 
Jeden
ln (1) = 0  
ln nekonečna
lim ln ( x ) = ∞, keď x → ∞  
Eulerova identita ln (-1) = i π  

 

Pravidlo logaritmického produktu

Logaritmus násobenia x a y je súčtom logaritmu x a logaritmu y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Napríklad:

denník 10 (3 7) = denník 10 (3) + denník 10 (7)

Pravidlo kvocientu logaritmu

Logaritmus rozdelenia x a y je rozdiel logaritmu x a logaritmu y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Napríklad:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Logaritmické pravidlo sily

Logaritmus x zvýšený na mocninu y je y-násobok logaritmu x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Napríklad:

log 10 (2 8 ) = 8 log 10 (2)

Derivácia prirodzeného logaritmu

Derivátom prirodzenej logaritmovej funkcie je recipročná funkcia.

Kedy

f ( x ) = ln ( x )

Derivácia f (x) je:

f ' ( x ) = 1 / x

Integrál prirodzeného logaritmu

Integrál funkcie prirodzeného logaritmu je daný:

Kedy

f ( x ) = ln ( x )

Integrál f (x) je:

f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln 0

Prirodzený logaritmus nuly nie je definovaný:

ln (0) je nedefinované

Limita blízko 0 prirodzeného logaritmu x, keď sa x blíži k nule, je mínus nekonečno:

Ln z 1

Prirodzený logaritmus jednej je nula:

ln (1) = 0

Ln nekonečna

Limita prirodzeného logaritmu nekonečna, keď sa x blíži k nekonečnu, sa rovná nekonečnu:

lim ln ( x ) = ∞, keď x → ∞

Komplexný logaritmus

Pre komplexné číslo z:

z = re = x + iy

Komplexný logaritmus bude (n = ... - 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arktán ( y / x ))

Graf ln (x)

ln (x) nie je definované pre reálne pozitívne hodnoty x:

Tabuľka prirodzených logaritmov

x ln x
0 nedefinované
0 + - ∞
0,0001 -9,210340
0,001 -6,907755
0,01 -4,605170
0,1 -2,302585
1 0
2 0,693147
e ≈ 2,7183 1
3 1,098612
4 1,386294
5 1,609438
6 1,791759
7 1,945910
8 2,079442
9 2,197225
10 2,302585
20 2,995732
30 3,401197
40 3,688879
50 3,912023
60 4,094345
70 4,248495
80 4,382027
90 4,499810
100 4,605170
200 5,198317
300 5,703782
400 5,991465
500 6,214608
600 6,396930
700 6,551080
800 6,684612
900 6,802395
1 000 6,907755
10 000 9,210340

 

Pravidlá logaritmu ►

 


Pozri tiež

ALGEBRA
RÝCHLE TABUĽKY