Prirodzený logaritmus - ln (x)

Prirodzený logaritmus je logaritmus k základu e čísla.

• Definícia prirodzeného logaritmu (ln)
• Pravidlá a vlastnosti prirodzeného logaritmu (LN)
  • Derivácia prirodzeného logaritmu (ln)
  • Integrál prirodzeného logaritmu (ln)
• Komplexný logaritmus
• Graf ln (x)
• Tabuľka prirodzených logaritmov (LN)
• Prirodzená logaritmická kalkulačka

Definícia prirodzeného logaritmu

Kedy

e ^y = x

Potom základný e logaritmus x je

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

E konštantný alebo Eulerovo číslo je:

e ≈ 2,71828183

Ln ako inverzná funkcia exponenciálnej funkcie

Prirodzená logaritmická funkcia ln (x) je inverzná funkcia exponenciálnej funkcie e ^x .

Pre x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Alebo

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Pravidlá a vlastnosti prirodzeného logaritmu

Názov pravidla	Pravidlo	Príklad
Pravidlo produktu	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Pravidlo kvocientu	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Pravidlo moci	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
derivát	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
ln integrál	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln záporného čísla	ln ( x ) nie je definované, keď x ≤ 0
nula nula	ln (0) je nedefinované
Jeden	ln (1) = 0
ln nekonečna	lim ln ( x ) = ∞, keď x → ∞
Eulerova identita	ln (-1) = i π

Pravidlo logaritmického produktu

Logaritmus násobenia x a y je súčtom logaritmu x a logaritmu y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Napríklad:

denník ₁₀ (3 ∙ 7) = denník ₁₀ (3) + denník ₁₀ (7)

Pravidlo kvocientu logaritmu

Logaritmus rozdelenia x a y je rozdiel logaritmu x a logaritmu y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Napríklad:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Logaritmické pravidlo sily

Logaritmus x zvýšený na mocninu y je y-násobok logaritmu x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Napríklad:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Derivácia prirodzeného logaritmu

Derivátom prirodzenej logaritmovej funkcie je recipročná funkcia.

Kedy

f ( x ) = ln ( x )

Derivácia f (x) je:

f ' ( x ) = 1 / x

Integrál prirodzeného logaritmu

Integrál funkcie prirodzeného logaritmu je daný:

Kedy

f ( x ) = ln ( x )

Integrál f (x) je:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln 0

Prirodzený logaritmus nuly nie je definovaný:

ln (0) je nedefinované

Limita blízko 0 prirodzeného logaritmu x, keď sa x blíži k nule, je mínus nekonečno:

Ln z 1

Prirodzený logaritmus jednej je nula:

ln (1) = 0

Ln nekonečna

Limita prirodzeného logaritmu nekonečna, keď sa x blíži k nekonečnu, sa rovná nekonečnu:

lim ln ( x ) = ∞, keď x → ∞

Komplexný logaritmus

Pre komplexné číslo z:

z = re ^iθ = x + iy

Komplexný logaritmus bude (n = ... - 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arktán ( y / x ))

Graf ln (x)

ln (x) nie je definované pre reálne pozitívne hodnoty x:

Tabuľka prirodzených logaritmov

Pravidlá logaritmu ►

Pozri tiež

• Logaritmus (log)
• Prirodzená logaritmická kalkulačka
• Prirodzený nulový logaritmus
• Prirodzený logaritmus jedného
• Prirodzený logaritmus napr
• Prirodzený logaritmus nekonečna
• Prirodzený logaritmus záporného čísla
• Ln inverzná funkcia
• ln (x) graf
• Prirodzená logaritmická tabuľka
• Logaritmická kalkulačka
• e konštantná