Prirodzený logaritmus - ln (x)

Prirodzený logaritmus je logaritmus k základu e čísla.

• Definícia prirodzeného logaritmu (ln)
• Pravidlá a vlastnosti prirodzeného logaritmu (LN)
  • Derivácia prirodzeného logaritmu (ln)
  • Integrál prirodzeného logaritmu (ln)
• Komplexný logaritmus
• Graf ln (x)
• Tabuľka prirodzených logaritmov (LN)
• Prirodzená logaritmická kalkulačka

Definícia prirodzeného logaritmu

Kedy

e ^y = x

Potom základný e logaritmus x je

ln ( x ) = log _e ( x ) = y

 

E konštantný alebo Eulerovo číslo je:

e ≈ 2,71828183

Ln ako inverzná funkcia exponenciálnej funkcie

Prirodzená logaritmická funkcia ln (x) je inverzná funkcia exponenciálnej funkcie e ^x .

Pre x/ 0,

f ( f ^-1 ( x )) = e ^{ln ( x )} = x

Alebo

f ^-1 ( f ( x )) = ln ( e ^x ) = x

Pravidlá a vlastnosti prirodzeného logaritmu

Názov pravidla	Pravidlo	Príklad
Pravidlo produktu	ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )	ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Pravidlo kvocientu	ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )	ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Pravidlo moci	ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )	ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
derivát	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
ln integrál	∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C
ln záporného čísla	ln ( x ) nie je definované, keď x ≤ 0
nula nula	ln (0) je nedefinované
Jeden	ln (1) = 0
ln nekonečna	lim ln ( x ) = ∞, keď x → ∞
Eulerova identita	ln (-1) = i π

 

Pravidlo logaritmického produktu

Logaritmus násobenia x a y je súčtom logaritmu x a logaritmu y.

log _b ( x ∙ y ) = log _b ( x ) + log _b ( y )

Napríklad:

denník ₁₀ (3 ∙ 7) = denník ₁₀ (3) + denník ₁₀ (7)

Pravidlo kvocientu logaritmu

Logaritmus rozdelenia x a y je rozdiel logaritmu x a logaritmu y.

log _b ( x / y ) = log _b ( x ) - log _b ( y )

Napríklad:

log ₁₀ (3 / 7) = log ₁₀ (3) - log ₁₀ (7)

Logaritmické pravidlo sily

Logaritmus x zvýšený na mocninu y je y-násobok logaritmu x.

log _b ( x ^y ) = y ∙ log _b ( x )

Napríklad:

log ₁₀ (2 ⁸ ) = 8 ∙ log ₁₀ (2)

Derivácia prirodzeného logaritmu

Derivátom prirodzenej logaritmovej funkcie je recipročná funkcia.

Kedy

f ( x ) = ln ( x )

Derivácia f (x) je:

f ' ( x ) = 1 / x

Integrál prirodzeného logaritmu

Integrál funkcie prirodzeného logaritmu je daný:

Kedy

f ( x ) = ln ( x )

Integrál f (x) je:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln 0

Prirodzený logaritmus nuly nie je definovaný:

ln (0) je nedefinované

Limita blízko 0 prirodzeného logaritmu x, keď sa x blíži k nule, je mínus nekonečno:

Ln z 1

Prirodzený logaritmus jednej je nula:

ln (1) = 0

Ln nekonečna

Limita prirodzeného logaritmu nekonečna, keď sa x blíži k nekonečnu, sa rovná nekonečnu:

lim ln ( x ) = ∞, keď x → ∞

Komplexný logaritmus

Pre komplexné číslo z:

z = re ^iθ = x + iy

Komplexný logaritmus bude (n = ... - 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x ² + y ² )) + i · arktán ( y / x ))

Graf ln (x)

ln (x) nie je definované pre reálne pozitívne hodnoty x:

Tabuľka prirodzených logaritmov

x	ln x
0	nedefinované
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2,197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4,248495
80	4,382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5,198317
300	5,703782
400	5,991465
500	6,214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6,802395
1 000	6,907755
10 000	9,210340

 

Pravidlá logaritmu ►

 

---

Pozri tiež

• Logaritmus (log)
• Prirodzená logaritmická kalkulačka
• Prirodzený nulový logaritmus
• Prirodzený logaritmus jedného
• Prirodzený logaritmus napr
• Prirodzený logaritmus nekonečna
• Prirodzený logaritmus záporného čísla
• Ln inverzná funkcia
• ln (x) graf
• Prirodzená logaritmická tabuľka
• Logaritmická kalkulačka
• e konštantná