Odvodené pravidlá

Odvodené pravidlá a zákony. Tabuľka derivácií funkcií.

Derivátová definícia

Deriváciou funkcie je pomer rozdielu funkčnej hodnoty f (x) v bodoch x + Δx a x s Δx, keď je Δx nekonečne malý. Deriváciou je funkčný sklon alebo sklon dotyčnice v bode x.

 

f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ až 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}

Druhá derivácia

Druhá derivácia je daná:

Alebo jednoducho odvodte prvú deriváciu:

f '(x) = (f' (x)) '

N-tý derivát

N th derivát sa vypočíta odvodenie f (x) n-krát.

K n th derivát sa rovná derivát (n-1) derivát:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Príklad:

Nájdite štvrtú deriváciu

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '= [10 x 4 ]' '= = [40 x 3 ]' '= [120 x 2 ]' = 240 x

Derivát na grafe funkcie

Derivátom funkcie je slop tangenciálnej čiary.

Odvodené pravidlá

Pravidlo odvodenej sumy

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Pravidlo odvodeného produktu

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivačné pravidlo kvocientu \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}
Odvodené reťazcové pravidlo

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Pravidlo odvodenej sumy

Keď a a b sú konštanty.

( af ( x ) + bg ( x )) '= af' ( x ) + bg ' ( x )

Príklad:

Nájdite derivát:

3 x 2 + 4 x.

Podľa pravidla súčtu:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 x + 4

Pravidlo odvodeného produktu

( f ( x ) ∙ g ( x )) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Derivačné pravidlo kvocientu

\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( X)}

Odvodené reťazcové pravidlo

f ( g ( x )) '= f' ( g ( x )) ∙ g ' ( x )

Toto pravidlo možno lepšie pochopiť pomocou Lagrangeovej notácie:

\ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \ cdot \ frac {dg} {dx}

Lineárna aproximácia funkcie

Pre malé Δx môžeme získať aproximáciu f (x 0 + Δx), keď poznáme f (x 0 ) a f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Tabuľka derivácií funkcií

Názov funkcie Funkcia Derivát

f ( x )

f '( x )
Neustále

konšt

0

Lineárne

x

1

Moc

x a

sekera a- 1

Exponenciálny

e x

e x

Exponenciálny

a x

a x ln a

Prirodzený logaritmus

ln ( x )

Logaritmus

denník b ( x )

Sínus

hriech x

cos x

Kosínus

cos x

-hrebe x

Tečna

opáliť x

Arcsine

arcsin x

Arkkozín

arccos x

Arkustangens

arctan x

Hyperbolický sínus

sinh x

keš x

Hyperbolický kosínus

keš x

sinh x

Hyperbolická tangenta

tanh x

Inverzný hyperbolický sínus

sinh -1 x

Inverzný hyperbolický kosínus

keš -1 x

Inverzná hyperbolická tangens

tanh -1 x

Derivačné príklady

Príklad č

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Príklad č

f ( x ) = hriech (3 x 2 )

Pri uplatňovaní reťazového pravidla:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ]' = cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Druhý derivačný test

Keď je prvá derivácia funkcie v bode x 0 nulová .

f '( x 0 ) = 0

Potom druhá derivácia v bode x 0 , f '(x 0 ), môže označovať typ tohto bodu:

 

f "( x 0 )/ 0

miestne minimum

f "( x 0 ) <0

miestne maximum

f "( x 0 ) = 0

neurčené

 


Pozri tiež

CALCULUS
RÝCHLE TABUĽKY