Изведена правила

Изведена правила и закони. Табела деривата функција.

Дефиниција деривата

Извод функције је однос разлике вредности функције ф (к) у тачкама к + Δк и к са Δк, када је Δк бесконачно мали. Извод је нагиб функције или нагиб тангенте у тачки к.

 

ф '(к) = \ лим _ {\ Делта к \ то 0} \ фрац {ф (к + \ Делта к) -ф (к)} {\ Делта к}

Друга изведеница

Други дериват је дат:

Или једноставно изведите први дериват:

ф '' (к) = (ф '(к))'

Н-ти дериват

Н тх дериват израчунава извођења ф (к) н пута.

У н тх деривативе једнака дериват (н-1) дериват:

ф ( н ) ( к ) = [ ф ( н -1) ( к )] '

Пример:

Нађи четврту изведеницу од

ф ( к ) = 2 к 5

ф (4) ( к ) = [2 к 5 ] '' '' = [10 к 4 ] '' '= [40 к 3 ]' '= [120 к 2 ]' = 240 к

Дериват на графикону функције

Извод функције је нагиб тангенцијалне линије.

Изведена правила

Правило дериватне суме

( аф ( к ) + бг ( к )) '= аф' ( к ) + бг ' ( к )

Правило изведеног производа

( ф ( к ) ∙ г ( к )) '= ф' ( к ) г ( к ) + ф ( к ) г ' ( к )

Изведено количничко правило \ лево (\ фрац {ф (к)} {г (к)} \ десно) '= \ фрац {ф' (к) г (к) -ф (к) г '(к)} {г ^ 2 ( Икс)}
Правило изведеног ланца

ф ( г ( к )) '= ф' ( г ( к )) ∙ г ' ( к )

Правило дериватне суме

Када су а и б константе.

( аф ( к ) + бг ( к )) '= аф' ( к ) + бг ' ( к )

Пример:

Пронађи изведеницу од:

3 к 2 + 4 к.

Према правилу збира:

а = 3, б = 4

ф ( к ) = к 2 , г ( к ) = к

ф ' ( к ) = 2 к , г' ( к ) = 1

(3 к 2 + 4 к ) '= 3⋅2 к + 4⋅1 = 6 к + 4

Правило изведеног производа

( ф ( к ) ∙ г ( к )) '= ф' ( к ) г ( к ) + ф ( к ) г ' ( к )

Изведено количничко правило

\ лево (\ фрац {ф (к)} {г (к)} \ десно) '= \ фрац {ф' (к) г (к) -ф (к) г '(к)} {г ^ 2 ( Икс)}

Правило изведеног ланца

ф ( г ( к )) '= ф' ( г ( к )) ∙ г ' ( к )

Ово правило се може боље разумети помоћу Лагрангеове нотације:

\ фрац {дф} {дк} = \ фрац {дф} {дг} \ цдот \ фрац {дг} {дк}

Функција линеарне апроксимације

За мали Δк, можемо добити апроксимацију ф (к 0 + Δк), када знамо ф (к 0 ) и ф '(к 0 ):

ф ( к 0 + Δ к ) ≈ ф ( к 0 ) + ф '( к 0 ) ⋅Δ к

Табела деривата функција

Назив функције Функција Деривативни

ф ( к )

ф '( к )
Стално

цонст

0

Линеарно

к

1

Снага

к а

секира а- 1

Експоненцијално

е к

е к

Експоненцијално

а к

а к лн а

Природни логаритам

лн ( к )

Логаритам

лог б ( к )

Сине

син к

цос к

Цосине

цос к

-син к

Тангента

тан к

Арцсине

арцсин к

Арццосине

арццос к

Арцтангент

арцтан к

Хиперболични синус

синх к

цосх к

Хиперболични косинус

цосх к

синх к

Хиперболична тангента

танх к

Инверзни хиперболични синус

синх -1 х

Инверзни хиперболични косинус

цосх -1 к

Инверзна хиперболична тангента

танх -1 к

Изведени примери

Пример # 1

ф ( к ) = к 3 +5 к 2 + к +8

ф ' ( к ) = 3 к 2 + 2⋅5 к + 1 + 0 = 3 к 2 +10 к +1

Пример # 2

ф ( к ) = грех (3 к 2 )

Када примените правило ланца:

ф ' ( к ) = цос (3 к 2 ) ⋅ [3 к 2 ]' = цос (3 к 2 ) ⋅ 6 к

Други тест деривата

Када је први извод функције нула у тачки к 0 .

ф '( к 0 ) = 0

Тада други извод у тачки к 0 , ф '' (к 0 ), може означавати тип те тачке:

 

ф '' ( к 0 )/ 0

локални минимум

ф '' ( к 0 ) <0

локални максимум

ф '' ( к 0 ) = 0

неодређено

 


Такође видети

КАЛКУЛ
БРЗЕ ТАБЛИЦЕ